В ромбе АВСD точки Т и К отмечены на продолжении диагонали АС таким образом, что отрезки АТ и СК имеют одинаковую длину

Для начала, давайте построим рисунок для этой задачи:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & A & & \\
& & & | & & \\
& & & | & & \\
& T & - & - & - & K \\
& & & | & & \\
& & & | & & \\
& D & - & - & - & C \\
& & & & | & \\
& & & & | & \\
& B & & & & \\
\end{array}
\]

Теперь мы должны доказать, что ВКDТ - параллелограмм. Для этого нам нужно доказать, что противоположные стороны ВК и ДТ параллельны, и что противоположные стороны ВТ и DK равны.

Для начала, из условия задачи, мы знаем, что отрезки АТ и СК имеют одинаковую длину и находятся вне ромба. Давайте обозначим их длину как \(x\). Таким образом, АТ = СК = \(x\).

Мы также знаем, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Таким образом, угол ВАD = угол САК = 90 градусов.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ВАК. У него две равные стороны: ВА и КА (они равны по свойству ромба), и угол ВАК = угол КАВ = 90 градусов (так как это угол прямоугольного треугольника).

Из свойства равных радиусов следует, что треугольник ВАК равнобедренный.

Поскольку треугольник ВАК равнобедренный, у него также равны углы при основании. То есть, угол ВКА = угол VАК.

Таким образом, мы можем заключить, что угол ВКА = угол ВАК = 90 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник КДС. У него также две равные стороны: КС и ДС (они равны по свойству ромба), и угол КДС = угол СДК = 90 градусов (по свойству пересекающихся диагоналей).

Также вспомним, что отрезки АТ и СК имеют одинаковую длину (\(x\)), поэтому отрезки ВТ и DK также равны \(x\).

Следовательно, мы можем заключить, что противоположные стороны ВТ и DK равны.

Из предыдущих рассуждений мы видим, что угол ВКА = угол КДС = 90 градусов, и что противоположные стороны КД и ВТ равны. Следовательно, по определению параллелограмма, ВКDТ - параллелограмм.

Теперь нам нужно доказать, что треугольники АДТ и ВСК равны.

Мы уже знаем, что противоположные стороны ВК и ДТ параллельны и равны. Это означает, что треугольник ВКДТ равнобедренный.

Также, по свойству равных радиусов, у трапеции ВКДТ основания ВК и ДТ равны.

Теперь давайте рассмотрим треугольник АДТ. У него одна сторона, АТ, равна отрезку ДК (\(x\)).

Мы также знаем, что угол АДТ = угол ВКА = 90 градусов (из свойства перпендикулярности диагоналей ромба).

Таким образом, у треугольника АДТ равна одна сторона и один угол с треугольником ВКДТ. Следовательно, треугольники АДТ и ВКДТ равны (по свойству равнобедренного треугольника).

Аналогичным образом, рассмотрим треугольник ВСК. У него одна сторона, КС, равна отрезку ВТ (\(x\)). Угол ВСК также равен углу ДКС, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых ВК и ДТ.

Таким образом, и треугольник ВСК равен треугольнику ВКДТ.

Доказательство завершено. Мы доказали, что ВКDТ является параллелограммом и что треугольники АДТ и ВСК равны.