Каков тангенс угла наклона касательной линии графика функции f(x)=lnx+3x в точке x0

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Нам дана функция \(f(x) = \ln(x) + 3x\), и мы хотим найти тангенс угла наклона касательной линии в точке \(x_0\).

1. Найдем производную функции \(f(x)\) по переменной \(x\).
\[
f"(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x) + 3x)
\]

Мы можем использовать правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения. Производная натурального логарифма \(\ln(x)\) равна \(\frac{1}{x}\), а производная константы (в нашем случае 3) равна 0. Таким образом, получаем:

\[
f"(x) = \frac{1}{x} + 3
\]

2. Теперь нам нужно найти значение производной \(f"(x)\) в точке \(x_0\). Подставим \(x_0\) вместо \(x\) в выражение для \(f"(x)\):

\[
f"(x_0) = \frac{1}{x_0} + 3
\]

Это значение является коэффициентом наклона касательной линии в точке \(x_0\).

3. Тангенс угла наклона касательной линии равен этому коэффициенту наклона. Формула для нахождения тангенса угла наклона следующая:
\[
\tan(\theta) = \frac{{f"(x_0)}}{1}
\]

Где \(\theta\) - угол наклона. В нашем случае угол наклона это угол, образованный касательной линией и осью \(x\).

4. Подставим значение \(f"(x_0)\) в формулу для тангенса угла наклона:
\[
\tan(\theta) = \frac{{\frac{1}{{x_0}} + 3}}{1}
\]

Таким образом, тангенс угла наклона касательной линии графика функции \(f(x) = \ln(x) + 3x\) в точке \(x_0\) равен \(\frac{1}{{x_0}} + 3\).

Итак, мы нашли ответ и привели пояснения и решение шаг за шагом.