Сколько существует прямых, которые проходят через ровно три отмеченные точки на координатной плоскости, где координаты

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип комбинаторики. Давайте рассмотрим все возможные варианты.

У нас есть 3 отмеченные точки, и нам нужно построить прямую, проходящую через эти точки. Чтобы прямая была определена, она должна иметь наклон. Нам нужно выбрать 2 точки из 3 и построить прямую, проходящую через них.

Сначала рассмотрим варианты, когда все 3 отмеченные точки находятся на одной горизонтальной или вертикальной прямой.

1) Горизонтальная прямая: чтобы прямая проходила через три отмеченные точки, эти три точки должны иметь одинаковые координаты y. У нас есть 29 возможных значений для координаты y (0, 1, 2, ..., 28). Таким образом, для каждого значения y у нас есть только один вариант для координаты x, так как прямая должна проходить через все 3 точки. Значит, у нас есть 29 горизонтальных прямых.

2) Вертикальная прямая: чтобы прямая проходила через три отмеченные точки, эти три точки должны иметь одинаковые координаты x. У нас есть 3 возможных значения для координаты x (0, 1, 2). Таким образом, для каждого значения x у нас есть 29 возможных значений для координаты y. Значит, у нас есть 3 * 29 = 87 вертикальных прямых.

Теперь рассмотрим варианты, когда отмеченные точки не лежат на одной горизонтальной или вертикальной прямой.

3) Прямая со сложным наклоном: для каждой точки x имеется 3 возможных значения для выбора первой точки, 2 для выбора второй точки и 1 для выбора третьей точки. Таким образом, у нас есть всего 3 * 2 * 1 = 6 сложных прямых.

Итак, общее количество прямых, удовлетворяющих условиям задачи, равно сумме количества горизонтальных, вертикальных и прямых со сложным наклоном:
29 + 87 + 6 = 122.

Итак, существует 122 прямых, которые проходят через ровно три отмеченные точки на координатной плоскости, где координаты x и y являются целыми числами, удовлетворяющими неравенствам 0⩽x⩽2 и 0⩽y⩽28.