Каков синус угла Ф между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) в данном кубе ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра

Для начала, давайте разберемся с исходными данными задачи. Мы имеем куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 единица измерения. Также у нас есть точка M на ребре A1D1 такая, что A1M : MD1 = 1:3.

Чтобы найти синус угла Ф между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D), нам понадобится некоторое вспомогательное знание геометрии и тригонометрии.

Вспомним, что синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае, нам нужно найти отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы для синуса угла Ф.

Теперь обратимся к рисунку куба ABCDA1B1C1D1. Пусть точка P — середина грани ABCD. Мы можем использовать треугольник AMP в качестве прямоугольного треугольника, поскольку AM — это гипотенуза. Угол MPA будет прямым углом, поскольку AM и AB1 лежат на плоскости ABCD. Мы знаем, что A1M : MD1 = 1:3. Обозначим MD1 через x, тогда A1M = 3x.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника AMP:

\[AM^2 = MP^2 + AP^2.\]

AM равно длине ребра куба, то есть 1. AP — это половина длины ребра, а значит AP = 1/2.

Таким образом, получим:

\[1^2 = MP^2 + (1/2)^2.\]

Simplify the equation to get:

\[1 = MP^2 + 1/4.\]

\[MP^2 = 1 - 1/4.\]

\[MP^2 = 3/4.\]

Now, let"s find the length of MP:

\[MP = \sqrt{3/4}.\]

Marina, for a straight line and a plane, дополнение угла Ф до 90 градусов является прямым углом, так как прямая и плоскость пересекаются под прямым углом. Поэтому синус угла Ф равен синусу угла MPA.

Синус угла Ф мы можем найти, используя следующее соотношение:

\[\sin Ф = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{MP}{AM}.\]

Подставим значения, которые мы уже нашли:

\[\sin Ф = \frac{\sqrt{3/4}}{1}.\]

Итак, синус угла Ф представляется в виде дроби, где знаменатель находится под корнем, а числитель — целое число. Ответ: \(\sin Ф = \frac{\sqrt{3}}{2}\).