Каков результат выражения { [ sin(a+3b) + sin(a-3b) ] / [ sin(a+3b) - sin(a-3b) ] } * ctg(a)?

Хорошо, давайте решим данное выражение шаг за шагом.

1. Первым шагом нам нужно понять какое значение имеют \(a\) и \(b\). Предположим, что \(a\) и \(b\) - это числа, и нам известны их точные значения. Для примера, пусть \(a = 2\) и \(b = 1\).

2. Заменим \(a\) и \(b\) в выражении и продолжим вычисления. Обратите внимание, что функции sin и ctg принимают радианы, поэтому вам также потребуется указать, в каких единицах измерения \(a\) и \(b\) представлены. Предположим, что \(a\) и \(b\) указаны в радианах.

3. Рассмотрим внутренние скобки синуса \(\sin(a+3b)\) и \(\sin(a-3b)\). Заменим значения \(a\) и \(b\) внутри синусов:

\[\sin(2+3\cdot1) = \sin(2+3) = \sin(5)\]

\[\sin(2-3\cdot1) = \sin(2-3) = \sin(-1)\]

4. Теперь заменим значения внутренних скобок в исходном выражении и продолжим вычисления:

\[\frac{\sin(5) + \sin(-1)}{\sin(5) - \sin(-1)} \cdot \ctg(2)\]

5. Рассмотрим числитель \(\sin(5) + \sin(-1)\). Обратите внимание, что \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\). Поэтому, \(\sin(-1) = -\sin(1)\) и числитель можно записать следующим образом:

\[\sin(5) + \sin(-1) = \sin(5) - \sin(1)\]

6. Рассмотрим знаменатель \(\sin(5) - \sin(-1)\). Также, используя тот факт, что \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\), знаменатель можно записать как:

\[\sin(5) - \sin(-1) = \sin(5) + \sin(1)\]

7. Теперь, подставим найденные значения числителя и знаменателя в исходное выражение и продолжим вычисления:

\[\frac{\sin(5) - \sin(1)}{\sin(5) + \sin(1)} \cdot \ctg(2)\]

8. Рассмотрим множитель \(\ctg(2)\). Тангенс определяется как \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\). Поэтому, \(\ctg(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\). В нашем случае, \(\ctg(2) = \frac{\cos(2)}{\sin(2)}\).

9. Подставим значение \(\ctg(2)\) в исходное выражение:

\[\frac{\sin(5) - \sin(1)}{\sin(5) + \sin(1)} \cdot \frac{\cos(2)}{\sin(2)}\]

10. Продолжим вычисления в числителе \(\sin(5) - \sin(1)\) и знаменателе \(\sin(5) + \sin(1)\) по аналогии с шагами 3-7. Подставим эти значения в исходное выражение.

11. После всех подстановок, получим итоговое выражение:

\[\frac{\sin(5) - \sin(1)}{\sin(5) + \sin(1)} \cdot \frac{\cos(2)}{\sin(2)} = \frac{(\sin(5) - \sin(1)) \cdot \cos(2)}{(\sin(5) + \sin(1)) \cdot \sin(2)}\]

12. Теперь, для заданных значений \(a = 2\) и \(b = 1\), мы можем вычислить числители и знаменатели:

Числитель: \((\sin(5) - \sin(1)) \cdot \cos(2) \approx -0.254\)

Знаменатель: \((\sin(5) + \sin(1)) \cdot \sin(2) \approx 0.248\)

13. Наконец, поделим числитель на знаменатель, чтобы получить итоговый результат:

\[\frac{(\sin(5) - \sin(1)) \cdot \cos(2)}{(\sin(5) + \sin(1)) \cdot \sin(2)} \approx \frac{-0.254}{0.248} \approx -1.026\]

Итак, для \(a = 2\) и \(b = 1\), результат выражения \(\left\{ \left[ \sin(a+3b) + \sin(a-3b) \right] / \left[ \sin(a+3b) - \sin(a-3b) \right] \right\} \cdot \ctg(a)\) составляет примерно -1.026.