Каков размер угла BAC, если площадь треугольника ABC составляет 8 корней из 3 квадратных сантиметров, а длины сторон

Чтобы найти размер угла BAC, нам нужно использовать информацию о площади треугольника ABC и длинах сторон AB и AC. Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Найдем высоту треугольника ABC, опущенную из вершины A. Обозначим высоту как h.

Мы знаем, что площадь треугольника равна \(\frac{1}{2}\) произведения основания и высоты. Поэтому можно записать следующее уравнение:
\[8\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h\]

Подставляем известные значения в уравнение:
\[8\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h\]

Упрощаем:
\[8\sqrt{3} = 4h\]

Делим обе части уравнения на 4:
\[2\sqrt{3} = h\]

Получили, что высота треугольника равна \(2\sqrt{3}\) сантиметра.

2. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти длину стороны BC треугольника ABC.

В треугольнике ABC с гипотенузой AB, прямоугольным углом в A и высотой h, сторона BC является вторым катетом. Поэтому мы можем записать следующее уравнение:
\[AC^2 = AB^2 - BC^2\]

Подставляем известные значения:
\[4^2 = 8^2 - BC^2\]

Упрощаем:
\[16 = 64 - BC^2\]

Вычитаем 64 из обеих частей уравнения:
\[-48 = -BC^2\]

Умножаем обе части уравнения на -1 для удобства:
\[48 = BC^2\]

Извлекаем квадратный корень из обоих частей уравнения:
\[BC = \sqrt{48}\]

Упрощаем:
\[BC = \sqrt{16 \cdot 3}\]

Раскрываем корень:
\[BC = 4\sqrt{3}\]

Получили, что сторона BC треугольника ABC равна \(4\sqrt{3}\) сантиметра.

3. Теперь мы можем использовать косинусную теорему, чтобы найти размер угла BAC.

Вспомним, что косинус угла ABC, где стороны AC и AB равны 4 и 8 сантиметров соответственно, можно найти с помощью следующего уравнения:
\[\cos{BAC} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}\]

Подставляем известные значения:
\[\cos{BAC} = \frac{8^2 + 4^2 - (4\sqrt{3})^2}{2 \cdot 8 \cdot 4}\]

Упрощаем:
\[\cos{BAC} = \frac{64 + 16 - 48}{64}\]

\[\cos{BAC} = \frac{32}{64}\]

\[\cos{BAC} = \frac{1}{2}\]

Получили, что косинус угла BAC равен \(\frac{1}{2}\).

4. Чтобы найти сам угол BAC, мы можем использовать значение косинуса, представленное в таблице значений косинусов углов. Когда косинус равен \(\frac{1}{2}\), угол BAC равен 60 градусов.

Итак, ответ: размер угла BAC равен 60 градусов.