Найдите площадь сферы, сфера соприкасается с каждой из сторон правильного треугольника abc, площадь которого равна

Чтобы найти площадь сферы, мы будем использовать формулу площади поверхности сферы, которая выглядит так:

\[S = 4\pi r^2\]

Где \(S\) - площадь поверхности сферы, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159, а \(r\) - радиус сферы.

Задача говорит нам, что сфера соприкасается с каждой из сторон правильного треугольника \(\triangle abc\), площадь которого равна \(9\sqrt{3}\) квадратных см. Мы также знаем расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Чтобы решить задачу, нам необходимо найти радиус сферы. Выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем длину стороны треугольника \(a\) (без единицы измерения). Поскольку площадь равностороннего треугольника задана как \(9\sqrt{3}\), мы можем использовать формулу площади равностороннего треугольника:

\[A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\]

Где \(A\) - площадь треугольника, а \(a\) - длина одной стороны. Подставим известные значения:

\[9\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\]

Шаг 2: Решим уравнение для \(a\). Умножим обе стороны на \(\frac{4}{\sqrt{3}}\):

\[a^2 = \frac{36\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

\[a^2 = 36\]

Таким образом, длина стороны треугольника \(a\) равна 6.

Шаг 3: Найдем высоту треугольника. Для равностороннего треугольника высота можно найти с помощью формулы:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} a\]

Подставим известные значения:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6\]

\[h = 3\sqrt{3}\]

Таким образом, высота треугольника равна \(3\sqrt{3}\).

Шаг 4: Найдем радиус сферы. Поскольку сфера соприкасается с каждой стороной треугольника, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно высоте \(h\) (по условию задачи). Радиус сферы будет равен высоте \(h\):

\[r = 3\sqrt{3}\]

Шаг 5: Найдем площадь сферы, используя формулу:

\[S = 4\pi r^2\]

\[S = 4\pi \cdot (3\sqrt{3})^2\]

\[S = 4\pi \cdot 27\]

\[S = 108\pi\]

Таким образом, площадь сферы равна \(108\pi\) квадратных см.

Это и есть ответ на задачу.