Каков радиус сферы, помещенной в цилиндр с высотой

Хорошо, я помогу вам с этой задачей.

Предположим, что у нас есть цилиндр с высотой $h$ и радиусом основания $R$. Мы хотим найти радиус $r$ сферы, которую можно поместить в этот цилиндр.

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать два факта о геометрии сфер и цилиндров:

1. Вписанная сфера в цилиндр касается его боковой поверхности внутри каждого из его оснований.
2. Радиус вписанной сферы составляет четверть диаметра основания цилиндра: $r=\frac{R}{4}$.

Теперь рассмотрим наш цилиндр. Если мы нарисуем плоскость, проходящую через центр сферы, она разделит цилиндр пополам и образует два прямоугольных треугольника в каждом из оснований.

Так как радиус сферы составляет четверть диаметра основания, то радиус основания цилиндра составляет диаметр цилиндра. Таким образом, каждый из равнобедренных треугольников, образованных плоскостью, имеет сторону $R/2$, сторону $h$ (высоту цилиндра) и гипотенузу $r$ (радиус вписанной сферы).

Используя теорему Пифагора для треугольника, мы можем записать уравнение:

$$(R/2{)}^2+h^2=r^2$$

Теперь, чтобы найти радиус $r$, нам нужно решить это уравнение. Сначала возведем $R/2$ в квадрат:

$$(R/2{)}^2+h^2=R^2/4+h^2=r^2$$

Затем умножим обе стороны уравнения на 4:

$$R^2+4h^2=4r^2$$

Наконец, получим выражение для радиуса сферы:

$$r^2=\frac{R^2+4h^2}{4}$$

или, если разложить на множители:

$$r=\sqrt{\frac{R^2+4h^2}{4}}$$

Таким образом, радиус сферы, помещенной в цилиндр с высотой $h$ и радиусом основания $R$, равен $\sqrt{\frac{R^2+4h^2}{4}}$.

Если у вас есть конкретные значения для $R$ и $h$, подставьте их в это выражение, чтобы найти радиус сферы.