Каков радиус окружности, описывающей треугольник, в котором один из углов составляет 60° и противолежащая сторона имеет

Для решения этой задачи нам потребуется некоторое знание геометрии, а именно связь между радиусом окружности, вписанной в треугольник, и сторонами этого треугольника.

Известно, что внешний угол треугольника равен сумме двух противолежащих углов. В нашем случае угол, противолежащий стороне \(a\), равен 60°, поэтому внешний угол равен 120°.

Также известно, что внешний угол треугольника равен сумме двух противоположных внутренних углов. В нашем случае противоположные внутренние углы равны и составляют 120° / 2 = 60° каждый.

Теперь мы можем использовать эти знания для решения задачи. Для начала найдем стороны треугольника, используя тригонометрическую формулу синуса:

\[\frac{a}{\sin(60°)} = \frac{b}{\sin(120°)}\]

Раскрывая синусы и упрощая выражение, получаем:

\[\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упростив выражение, получаем:

\[a = b\]

Таким образом, сторона треугольника \(a\) равна стороне треугольника \(b\). Это значит, что треугольник является равнобедренным.

Равнобедренный треугольник имеет особое свойство: серединный перпендикуляр от основания треугольника проходит через центр описанной окружности.

То есть, мы можем провести перпендикуляр из основания треугольника, и он будет пересекаться с противоположной стороной треугольника в ее середине и проходить через центр описанной окружности.

Поскольку треугольник равнобедренный, его высота и медиана, проведенная из вершины в основание (также известная как биссектриса), совпадают.

Таким образом, радиус окружности, описывающей треугольник, равен половине стороны треугольника \(b\).

Ответ: Радиус окружности, описывающей треугольник, в котором один из углов составляет 60° и противолежащая сторона имеет длину \(b\), равен \(\frac{b}{2}\).