Каков радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом при вершине 120 градусов и боковой

Чтобы найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, нам понадобится использовать свойства равнобедренных треугольников и особенности описанной окружности.

1. Рассмотрим данный равнобедренный треугольник. У равнобедренного треугольника две равные стороны и два равных угла. В данном случае у нас есть угол при вершине равный 120 градусов.

2. Так как угол при вершине треугольника равен 120 градусов, то остальные два угла равны по 180 - 120 = 60 градусов каждый.

3. Мы также знаем, что боковая сторона треугольника имеет длину, но она не была указана в вашем вопросе. Давайте обозначим ее за a.

4. Теперь мы можем использовать свойство равнобедренных треугольников, которое гласит, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является медианой и высотой этого треугольника. В нашем случае, биссектриса будет пересекать основание треугольника (боковые стороны) в точке, совпадающей с центром описанной окружности.

5. Пусть O - центр описанной окружности, AO - радиус окружности, OB и OC - боковые стороны равнобедренного треугольника, а точка M - точка пересечения биссектрисы с основанием треугольника.

6. Так как треугольник равнобедренный, то OB = OC = a.

7. Следовательно, AM - это медиана в треугольнике AOB и также является высотой и биссектрисой. АМ делит основание треугольника на две равные части.

8. Так как AM является медианой в треугольнике AOB, то AM = (1/2)AO.

9. Аналогично, так как AM является биссектрисой угла AOC, то AM= МK= KN.

10. Таким образом, MK = KN = (1/2)a.

11. Из прямоугольного треугольника AKN мы можем применить теорему Пифагора:

AK^2 + KN^2 = AN^2.

12. Так как AK = AN = AO (так как радиус окружности одинаков для всех сторон треугольника), то в нашем случае:

AO^2 + ((1/2)a)^2 = a^2.

13. Упростим и решим уравнение:

AO^2 + (1/4)a^2 = a^2.

AO^2 = 3/4 a^2.

Отсюда:

AO = sqrt(3/4) * a,

или, равносильно,

AO = (sqrt(3) / 2) * a.

Таким образом, радиус окружности, описанной около данного равнобедренного треугольника, равен (sqrt(3) / 2) * a, где a - длина боковой стороны треугольника.