а) Какое сечение тетраэдра будет получено, если плоскость проходит через точки M, N и K? б) Чему равен периметр этого

Хорошо, давайте разберем задачу по порядку.

а) Чтобы определить сечение тетраэдра, которое будет получено плоскостью проходящей через точки M, N и K, нам необходимо сначала найти уравнение этой плоскости.

Для этого воспользуемся понятием векторного произведения векторов и нормального вектора плоскости. Вектором нормали плоскости будет векторное произведение двух векторов, лежащих в ней. Возьмем векторы \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{MN}\) и найдем их векторное произведение:

\[
\overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MN} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
M_x - K_x & M_y - K_y & M_z - K_z \\
M_x - N_x & M_y - N_y & M_z - N_z \\
\end{vmatrix}
\]

Вычисляя определитель, получаем вектор нормали плоскости, который будет использован в уравнении плоскости.

б) Теперь, когда у нас есть уравнение плоскости, мы можем найти периметр полученного сечения. Для этого нам нужно найти длины отрезков, образующих это сечение.

Известно, что ДВ = 8 см, АД = 6 см и АВ = 4 см. Мы должны найти отрезки, образующие сечение, расположенные на этих ребрах тетраэдра.

Используя подобие треугольников, мы можем найти длины отрезков в сечении. Поскольку плоскость проходит через точки А, В и Д, длины отрезков в сечении будут пропорциональны длинам соответствующих ребер тетраэдра.

Поэтому отношение длин отрезков в сечении к длинам соответствующих ребер будет равно:

\(\frac{DB}{AB} = \frac{DC}{AC} = \frac{DA}{AD}\)

Мы знаем, что DB = 8 см и AD = 6 см. Подставив эти значения в уравнение, мы можем найти остальные длины отрезков.

в) Нам нужно доказать, что плоскости ADB параллельны друг другу.

Для доказательства параллельности плоскостей, нам необходимо проверить, что вектор нормали первой плоскости (полученный из уравнения плоскости ADB) коллинеарен вектору нормали второй плоскости.

Если два вектора являются коллинеарными, то это означает, что они будут кратны друг другу.

Итак, мы снова воспользуемся уравнением плоскости ADB, найденном в пункте а). Найденный вектор нормали первой плоскости будет коллинеарным с вектором нормали второй плоскости, если они кратны друг другу. Другими словами, их координаты будут пропорциональны.

Если мы установим соотношение между координатами векторов, исходя из их определений, мы сможем показать, что координаты векторов коллинеарны.

Доказав, что векторы нормали коллинеарны, можно сделать вывод, что плоскости ADB параллельны друг другу.