Каков промежуток времени от начала движения до остановки вращающегося тела, учитывая, что угловая скорость меняется

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем промежуток времени от начала движения до остановки вращающегося тела. Для этого нам понадобится уравнение, связывающее угловую скорость и время: \(w = 2-8t^2\).

Шаг 2: Найдем время остановки тела. Мы знаем, что скорость тела становится равной нулю при остановке, поэтому можем записать следующее уравнение: \(w = 0\).

Шаг 3: Подставим \(w = 0\) в уравнение \(w = 2-8t^2\) и решим его относительно времени \(t\): \(0 = 2-8t^2\).

Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение: \(8t^2 = 2\). Для этого поделим обе части уравнения на 8: \(t^2 = \frac{1}{4}\).

Шаг 5: Получили, что \(t^2 = \frac{1}{4}\). Чтобы найти \(t\), возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения: \(t = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\).

Шаг 6: Учитывая, что время не может быть отрицательным, мы рассматриваем только положительное значение времени: \(t = \frac{1}{2}\).

Таким образом, промежуток времени от начала движения до остановки вращающегося тела равен \(\frac{1}{2}\) единиц времени.

Теперь давайте найдем угол поворота тела за этот промежуток времени.

Шаг 7: Для этого воспользуемся формулой для угла поворота \(\theta = \int w dt\). Подставим в нее наше уравнение для угловой скорости \(w = 2-8t^2\) и проинтегрируем выражение от 0 до \(\frac{1}{2}\).

Шаг 8: Проинтегрируем уравнение: \(\theta = \int (2-8t^2)dt\).

Шаг 9: Вычислим интеграл: \(\theta = 2t - \frac{8}{3}t^3\), применяя правило интегрирования.

Шаг 10: Подставим пределы интегрирования: \(\theta = 2\cdot\frac{1}{2} - \frac{8}{3}\cdot(\frac{1}{2})^3\).

Шаг 11: Упростим выражение: \(\theta = 1 - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\).

Шаг 12: Выполним вычисления: \(\theta = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}\).

Таким образом, угол поворота тела за промежуток времени от начала движения до остановки равен \(\frac{11}{12}\) радиан.