Каков полупериметр ромба, радиус и площадь круга, если ∢MLK равен 60°, длина MO равна 8 мм, а площадь ромба составляет

Для начала, давайте рассмотрим соотношения в ромбе, основываясь на заданных данных. У нас есть угол ∢MLK, который равен 60°, и сторона MO, которая равна 8 мм.

В ромбе все стороны равны между собой, поэтому, так как мы знаем только длину стороны MO, мы можем предположить, что все стороны ромба равны 8 мм.

Теперь мы можем найти полупериметр ромба. Полупериметр равен сумме длин всех сторон, деленной на 2. Так как все стороны равны 8 мм, полупериметр будет равен \(4 \times 8 \, \text{мм} = 32 \, \text{мм}\).

Теперь перейдем к радиусу круга. Мы знаем, что диагонали ромба являются перпендикулярными биссектрисами углов ромба. Так как ∢MLK равен 60°, это означает, что угол α (формирующийся при пересечении диагоналей) равен 120°.

Зная, что диагонали ромба делятся пополам углами, можно сделать вывод, что угол между MO и диагональю ромба равен 60°. Поэтому MO является стороной правильного треугольника (треугольник, в котором все углы равны 60°).

Для правильного треугольника известно, что отношение длины радиуса R к длине стороны треугольника a равно \(\frac{R}{a} = \frac{\sqrt{3}}{6}\). Зная, что длина стороны MO составляет 8 мм, мы можем выразить радиус R следующим образом:

\[\frac{R}{8} = \frac{\sqrt{3}}{6}\]

Чтобы найти R, умножим обе стороны уравнения на 8:

\[R = 8 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{мм}\]

Наконец, рассмотрим площадь круга. Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi R^2\), где S - площадь, а R - радиус.

Теперь, зная радиус R, мы можем подставить его в формулу для площади круга:

\[S = \pi \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \left(\frac{16 \cdot 3}{9}\right) = \pi \frac{48}{9} = \frac{16\pi}{3} \, \text{мм}^2\]

Таким образом, полупериметр ромба равен 32 мм, радиус круга равен \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) мм, а площадь круга равна \(\frac{16\pi}{3}\) квадратных миллиметров.