существуют бивполярные относительно окружностей Ω и ω 10)Точки O, X и Y лежат на одной прямой

Для решения данной задачи, нам нужно вспомнить определение биполярности относительно окружности.

Пусть у нас есть две окружности Ω и ω с центрами в точках O и O₁ и радиусами R и r соответственно.

Точка Х лежит на прямой YY₁, которая проходит через центры окружностей, а точка Y находится на линии пересечения (общей касательной) двух окружностей.

Тогда, согласно свойству биполярности, справедливо следующее утверждение: произведение расстояний от точки Х до касательных, проведенных из этой точки к окружностям, равно квадрату расстояния от точки Y до линии пересечения окружностей:

$HX\cdot HX₁=HY\cdot HY₁$

Возвращаясь к нашей задаче, где точки O, X и Y лежат на одной прямой, можем сделать вывод, что расстояние ОХ равно нулю, так как точка Х является и центром окружности.

Поэтому, подставляя значение ОХ в уравнение биполярности, получим:

$0\cdot HX₁=HY\cdot HY₁$

Так как умножение на ноль всегда равно нулю, то получаем, что $HX₁=0$ или $HY\cdot HY₁=0$.

Первое уравнение $HX₁=0$ означает, что точка X₁ совпадает с точкой О₁, а значит лежит на маленькой окружности ω.

Второе уравнение $HY\cdot HY₁=0$ означает, что или точка Y совпадает с точкой О, а значит лежит на большой окружности Ω, или точка Y совпадает с точкой О₁, а значит лежит на маленькой окружности ω.

Таким образом, краткий ответ: либо точка X₁ лежит на окружности ω, либо точка Y лежит на одной из окружностей Ω или ω.