Каков период колебаний системы, состоящей из двух параллельно соединенных пружин с жесткостью каждой 100 Н/м и массой

Для решения первой задачи, нам необходимо использовать формулу для периода колебаний пружинного маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(T\) - период колебаний, \(m\) - масса груза, \(k\) - жесткость пружины.

В данном случае у нас имеется система двух параллельно соединенных пружин, поэтому нужно использовать общую жесткость для расчета периода колебаний. Общая жесткость пружин, соединенных параллельно, вычисляется по следующей формуле:

\[\frac{1}{k_{\text{общ}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\]

где \(k_{\text{общ}}\) - общая жесткость системы, \(k_1\) и \(k_2\) - жесткости первой и второй пружины соответственно.

Теперь можем приступить к решению:

1) Расчет общей жесткости системы путем объединения пружин параллельно:

\[\frac{1}{k_{\text{общ}}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{100} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50} \, \text{Н/м}\]

2) Подставляем значение общей жесткости и массы груза \(m = 0,5 \, \text{кг}\) в формулу для периода колебаний пружинного маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{общ}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{0,5}{\frac{1}{50}}} = 2\pi\sqrt{0,5 \times 50} = 2\pi\sqrt{25} = 2\pi \times 5 = 10\pi \, \text{с}\]

Ответ: период колебаний данной системы равен \(10\pi\) секунд.

Для решения второй задачи, нам нужно использовать формулу для периода колебаний математического маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]

где \(T\) - период колебаний, \(l\) - длина подвеса, \(g\) - ускорение свободного падения.

Так как у нас известен период колебаний \(T = 0,4 \, \text{с}\) и коэффициент жесткости пружины \(k = 50 \, \text{Н/м}\), мы можем воспользоваться следующей соотношением:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{50}} = 0,4 \, \text{с}\]

Мы также знаем, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза, только от длины подвеса. Поэтому, мы можем напрямую присвоить \(m\) значение, то есть:

\(m = 1 \, \text{кг}\)

Ответ: масса колеблющегося груза математического маятника равна \(1\) кг.