Каков периметр треугольника с вершинами a (3,7,-4) , b (5,-3,2) , c (1,3,10)? Каков угол треугольника?

Чтобы найти периметр треугольника, мы должны найти длины всех его сторон. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула расстояния между двумя точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2 + (z₂ - z₁)^2}\]

Давайте применим эту формулу, чтобы найти длины сторон треугольника.

Для стороны ab:

\[d_{ab} = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-3 - 7)^2 + (2 - (-4))^2}\]

\[d_{ab} = \sqrt{2^2 + (-10)^2 + 6^2}\]

\[d_{ab} = \sqrt{4 + 100 + 36}\]

\[d_{ab} = \sqrt{140}\]

Для стороны bc:

\[d_{bc} = \sqrt{(1 - 5)^2 + (3 - (-3))^2 + (10 - 2)^2}\]

\[d_{bc} = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 8^2}\]

\[d_{bc} = \sqrt{16 + 36 + 64}\]

\[d_{bc} = \sqrt{116}\]

Для стороны ac:

\[d_{ac} = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - 7)^2 + (10 - (-4))^2}\]

\[d_{ac} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 14^2}\]

\[d_{ac} = \sqrt{4 + 16 + 196}\]

\[d_{ac} = \sqrt{216}\]

Теперь, когда мы найдем длины всех сторон треугольника, мы можем найти его периметр, сложив длины всех сторон:

\[P = d_{ab} + d_{bc} + d_{ac}\]

\[P = \sqrt{140} + \sqrt{116} + \sqrt{216}\]

\[P \approx 37.82\]

Ответ: периметр этого треугольника составляет примерно 37.82 единицы длины.

Теперь посмотрим на угол треугольника. Мы можем использовать теорему косинусов для этого.

Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника с сторонами a, b и c и углом C против стороны c, косинус угла C можно выразить следующим образом:

\[\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

В нашем случае, у нас есть стороны ab, bc и ac, и мы хотим найти угол C, против стороны ac. Давайте применим теорему косинусов, чтобы найти этот угол.

Для угла C:

\[\cos(C) = \frac{d_{ab}^2 + d_{ac}^2 - d_{bc}^2}{2 \cdot d_{ab} \cdot d_{ac}}\]

\[\cos(C) = \frac{(\sqrt{140})^2 + (\sqrt{216})^2 - (\sqrt{116})^2}{2 \cdot \sqrt{140} \cdot \sqrt{216}}\]

\[\cos(C) = \frac{140 + 216 - 116}{2 \cdot \sqrt{140} \cdot \sqrt{216}}\]

\[\cos(C) = \frac{240}{2 \cdot \sqrt{140} \cdot \sqrt{216}}\]

\[\cos(C) = \frac{120}{\sqrt{140} \cdot \sqrt{216}}\]

\[\cos(C) \approx 0.848\]

Теперь мы можем найти угол C, применяя обратную функцию косинуса (арккосинус). Воспользуемся калькулятором для этого шага.

\[\angle C \approx \cos^{-1}(0.848) \approx 31.17^\circ\]

Ответ: Угол треугольника C составляет примерно 31.17 градусов.

Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам понять, как найти периметр и угол треугольника, используя заданные вершины. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!