Каков периметр треугольника, если его площадь равна 800, а радиус вписанной окружности равен

Для решения этой задачи нам понадобится формула для площади треугольника, а также некоторые свойства треугольника, связанные с вписанной окружностью.

Первым шагом найдем высоту треугольника. Вспомним, что площадь треугольника можно выразить через его основание (одну из сторон треугольника) и высоту, опущенную на данную сторону. Обозначим высоту треугольника через \(h\). Тогда формула площади треугольника будет выглядеть следующим образом:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина основания.

Мы знаем, что площадь треугольника равна 800, поэтому у нас есть уравнение:
\[800 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.\]

Теперь воспользуемся свойством вписанной окружности. Следует отметить, что радиус вписанной окружности является радиусом окружности, вписанной в треугольник. Известно, что высота треугольника, опущенная на сторону, является медианой и биссектрисой этой стороны. То есть высота треугольника разделяет сторону на две части - \(p\) и \(q\), причем \(p\) и \(q\) являются отрезками основания, соответствующими смежным катетам прямоугольного треугольника, образованного высотой треугольника и двумя сторонами треугольника.

Тогда мы можем записать следующую систему уравнений:
\[\begin{cases} a = p + q, \\ h^2 = r^2 - p \cdot q, \end{cases}\]
где \(r\) - радиус вписанной окружности.

Теперь подставим выражение для \(p + q\) из первого уравнения во второе уравнение системы:
\[h^2 = r^2 - (a - p)(a - q).\]

Получив уравнение для \(h\), мы сможем решить двойное уравнение:
\[800 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,\]
\[h^2 = r^2 - (a - p)(a - q).\]

Найденные значения \(a\) и \(h\) позволят нам найти периметр треугольника. Периметр вычисляется как сумма длин всех сторон треугольника.

После решения системы уравнений и нахождения \(a\) и \(h\), добавьте значения длин сторон треугольника и найдите их сумму, чтобы получить периметр.