Каков периметр правильного шестиугольника, если площадь закрашенной области составляет 80√3?

Хорошо, давайте решим данную задачу. Для начала, давайте определим что такое правильный шестиугольник. Правильный шестиугольник - это многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны 120 градусам. Теперь мы можем рассмотреть периметр такого шестиугольника.

Для решения задачи нам понадобится немного геометрии и алгебры. Область, закрашенная в задаче, имеет форму правильного шестиугольника, и мы знаем ее площадь - 80√3.

Площадь правильного шестиугольника можно выразить через длину его сторон. Давайте обозначим длину стороны шестиугольника как "a". Тогда, площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:
\[S = \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}\]

Зная, что площадь равна 80√3 и подставив это значение в формулу, мы можем решить уравнение относительно "a":

\[80\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}\]

Для начала, упростим уравнение, убрав общий множитель 3\sqrt{3}:

\[80 = \frac{a^2}{2}\]

Затем умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[160 = a^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[a = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4 \sqrt{10}\]

Значит, длина стороны нашего шестиугольника равна \(a = 4 \sqrt{10}\).

Чтобы найти периметр шестиугольника, нужно умножить длину одной стороны на 6, так как у нас правильный шестиугольник:

\[P = 6 \cdot a = 6 \cdot 4 \sqrt{10} = 24 \sqrt{10}\]

Таким образом, периметр правильного шестиугольника, если площадь закрашенной области составляет 80√3, равен \(P = 24 \sqrt{10}\).