Каков объем шара с диаметром, в три раза превышающим диаметр данного шара, если его объем составляет 135? Ответ: 3645

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для объема шара. Формула объема шара выглядит следующим образом:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

где \(V\) - объем шара, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159, \(r\) - радиус шара.

Нам дано, что объем шара равен 135 и что диаметр данного шара в три раза превышает диаметр искомого шара. Давайте обозначим диаметр искомого шара как \(d\), а диаметр данного шара – как \(3d\). Так как радиус равен половине диаметра, то радиусы этих шаров будут равными \( \frac{d}{2} \) и \( \frac{3d}{2} \) соответственно.

Мы знаем, что объем искомого шара равен 135. Подставим известные значения в формулу объема шара:

\[135 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^3\]

Сократим численные коэффициенты и выполняем вычисления:

\[135 = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{d^3}{8}\]

Умножим обе стороны уравнения на \(\frac{3}{4}\) для отделения \(\pi\) от дроби:

\[101.25 = \pi \cdot \frac{d^3}{8}\]

Далее умножим обе стороны уравнения на \(\frac{8}{\pi}\) для отделения \(\frac{d^3}{8}\):

\[101.25 \cdot \frac{8}{\pi} = d^3\]

Выполним итоговые вычисления:

\[101.25 \cdot \frac{8}{3.14159} = d^3\]
\[256.8142 \approx d^3\]

Теперь извлечем кубический корень из обеих сторон уравнения, чтобы найти значение \(d\) (положительное, так как это длина):

\[d \approx \sqrt[3]{256.8142} \approx 6.3\]

Зная значение радиуса, можно найти диаметр искомого шара, умножив радиус на 2:

\[Диаметр = 2 \cdot 6.3 \approx 12.6\]

Теперь, когда у нас есть диаметр искомого шара, мы можем найти его объем, подставив его радиус в формулу объема шара:

\[V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{12.6}{2}\right)^3\]
\[V = \frac{4}{3} \pi \cdot 6.3^3\]
\[V \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 249.949\]
\[V \approx 1047.2\]

Таким образом, объем шара с диаметром, в три раза превышающим диаметр данного шара, составляет около 1047.2. Ответ: 1047.2.