Каков объем прямоугольного параллелепипеда, у которого сторона основания равна 4 см и образует угол 30° с диагональю

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить объем прямоугольного параллелепипеда. По условию известно, что сторона основания равна 4 см и образует угол 30° с диагональю основания. Нам также дана иллюстрация на странице 2.

Для начала давайте разберемся с данной иллюстрацией:

(Вставьте иллюстрацию со страницы 2)

Как видно из иллюстрации, сторона основания параллелепипеда (AB) равна 4 см, а угол (BAC) равен 30°. Диагональ основания (AD) обозначена на иллюстрации точками.

Теперь перейдем к решению задачи с помощью пошагового анализа:

Шаг 1: Найдем длину диагонали основания (AD).
- Для этого мы можем использовать теорему косинусов для треугольника BAC. Формула для нахождения длины диагонали основания имеет вид:
\[AD^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(BAC)\]
- Подставив известные значения, получим:
\[AD^2 = 4^2 + AC^2 - 2 \cdot 4 \cdot AC \cdot \cos(30°)\]
- Угол 30° можно выразить через косинус пи/6:
\[AD^2 = 16 + AC^2 - 8 \cdot AC \cdot \cos(\pi/6)\]
- Значение косинуса пи/6 известно: \(\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2\)
- Подставим его в формулу:
\[AD^2 = 16 + AC^2 - 8 \cdot AC \cdot \sqrt{3}/2\]
- Упростим выражение:
\[AD^2 = 16 + AC^2 - 4 \cdot AC \cdot \sqrt{3}\]
- Дано, что сторона основания равна 4 см, то есть AC = 4 см.
- Подставим AC = 4 в выражение:
\[AD^2 = 16 + 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}\]
- Упростим и вычислим:
\[AD^2 = 16 + 16 - 16 \cdot \sqrt{3} = 32 - 16 \cdot \sqrt{3}\]
- Найдем квадратный корень из полученного значения:
\[AD \approx \sqrt{32 - 16 \cdot \sqrt{3}}\]

Шаг 2: Рассчитаем объем прямоугольного параллелепипеда.
- Объем параллелепипеда можно найти, умножив площадь основания на высоту.
- Площадь основания равна длине стороны основания, умноженной на ширину стороны основания: \[Площадь_{осн} = AB \cdot AC = 4 \cdot 4 = 16 \, см^2\]
- Высоту параллелепипеда можно найти по теореме Пифагора: \[AD^2 = AC^2 + AC^2 = 2 \cdot AC^2\]
- Отсюда получаем, что высота равна: \[Высота = \frac{AD}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{32 - 16 \cdot \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}\]
- Умножим площадь основания на высоту, чтобы найти объем параллелепипеда:
\[Объем = Площадь_{осн} \cdot Высота = 16 \cdot \frac{\sqrt{32 - 16 \cdot \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = 8 \cdot \sqrt{32 - 16 \cdot \sqrt{3}} \approx 65,67 \, см^3\]

Ответ: Объем прямоугольного параллелепипеда, у которого сторона основания равна 4 см и образует угол 30° с диагональю основания, составляет около 65,67 см³.