Какие значения z должны быть в заданных границах, чтобы корни уравнения x^2 - 2zx + z^2 - 1 = 0 находились между

Для нахождения значений z, при которых корни уравнения \(x^2 - 2zx + z^2 - 1 = 0\) находятся между \(-2\) и \(4\), мы можем использовать подход, основанный на дискриминанте.

Дискриминант D это часть уравнения под знаком радикала: \(D = b^2 - 4ac\), где a, b и c берутся из уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

Для данного уравнения \(x^2 - 2zx + z^2 - 1 = 0\) мы можем видеть, что a = 1, b = -2z и c = \(z^2 - 1\).

Теперь нам нужно найти диапазон значений z, при которых корни уравнения находятся между \(-2\) и \(4\). Мы можем использовать два условия:

1) Корни находятся между \(-2\) и \(4\), значит, уравнение имеет корни, и тем самым \(D > 0\).
2) Уравнение имеет корни, значит, \(b^2 - 4ac > 0\).

Рассмотрим первое условие, \(D > 0\):
Для данного уравнения, имеем \(D = (-2z)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (z^2 - 1)\).
Приводим его к виду:
\(D = 4z^2 - 4(z^2 - 1)\).
Упрощаем:
\(D = 4z^2 - 4z^2 + 4\).
\(D = 4\).

Таким образом, чтобы корни уравнения находились между \(-2\) и \(4\), необходимо, чтобы дискриминант был положительным, то есть \(4 > 0\).

Рассмотрим второе условие, \(b^2 - 4ac > 0\):
В данном уравнении, \(b^2 - 4ac = (-2z)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (z^2 - 1)\).
Приводим его к виду:
\(b^2 - 4ac = 4z^2 - 4z^2 + 4\).
\(b^2 - 4ac = 4\).

Также получаем, что \(4 > 0\).

Итак, соблюдая оба условия, мы можем заключить, что для значений z уравнения \(x^2 - 2zx + z^2 - 1 = 0\) корни находятся между \(-2\) и \(4\). Другими словами, это выполняется для любых значений z, так как условия \(D > 0\) и \(b^2 - 4ac > 0\) всегда выполняются.