Каков объем прямоугольного параллелепипеда с основанием стороной 6 см и 8 см, если диагональ параллелепипеда наклонена

Для решения данной задачи нам понадобится использовать некоторые геометрические свойства. Давайте рассмотрим ее пошаговое решение:

Шаг 1: Найдем длину диагонали основания параллелепипеда.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами параллелепипеда:
\(a^2 + b^2 = c^2\), где a и b - длины сторон прямоугольника, а c - диагональ.

В нашем случае, сторона a равна 6 см, а сторона b равна 8 см. Подставляя значения в формулу, получаем:
\(6^2 + 8^2 = c^2\)
\(36 + 64 = c^2\)
\(100 = c^2\)

Теперь извлечем квадратный корень из обоих частей уравнения:
\(\sqrt{100} = \sqrt{c^2}\)
\(10 = c\)

Таким образом, длина диагонали основания параллелепипеда равна 10 см.

Шаг 2: Найдем высоту параллелепипеда, используя информацию о наклонной диагонали и угле наклона.

Когда диагональ наклонена к плоскости основания, она образует прямой треугольник с одним из ребер параллелепипеда. В нашем случае, этот треугольник будет прямоугольным, так как известен угол наклона, равный 60 градусов.

Для нахождения высоты параллелепипеда воспользуемся следующим соотношением в прямоугольном треугольнике:
\(\sin(\theta) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\), где \(\theta\) - известный угол, \(\text{{противоположная сторона}}\) - высота, \(\text{{гипотенуза}}\) - диагональ основания.

Подставляя известные значения, получаем:
\(\sin(60^\circ) = \frac{{\text{{высота}}}}{{10}}\)

Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), умножим обе части уравнения на 10:
\(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = \text{{высота}}\)
\(5\sqrt{3} = \text{{высота}}\)

Таким образом, высота параллелепипеда равна \(5\sqrt{3}\) см.

Шаг 3: Найдем объем параллелепипеда.
Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу \(V = \text{{площадь основания}} \times \text{{высота}}\).

Площадь основания равна произведению длин его сторон:
\(\text{{площадь основания}} = 6 \cdot 8 = 48\) (см^2)

Теперь подставим известные значения в формулу объема:
\(V = 48 \times 5\sqrt{3}\)
\(V = 240\sqrt{3}\) (см^3)

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен \(240\sqrt{3}\) (см^3).

Я надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять, как найти объем параллелепипеда с заданными условиями. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их мне!