Каков объем правильной треугольной пирамиды, у которой стороны основания равны 5 и 8 см, а боковое ребро наклонено

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой стороны основания равны 5 и 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов, нам понадобится использовать геометрические свойства треугольника и формулу для объема пирамиды.

Первым шагом давайте определим высоту треугольной пирамиды. Высота пирамиды - это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания. В нашем случае треугольная пирамида - правильная, поэтому высота будет опущена из вершины перпендикулярно плоскости основания и будет проходить через центр основания.

Чтобы найти высоту, нам понадобится использовать свойства прямоугольного треугольника. Возьмем половину одного из оснований треугольника и боковое ребро пирамиды, оно будет служить для нахождения высоты. Рассмотрим треугольник, образованный половиной основания, высотой и стороной пирамиды (посмотрите на рисунок с этим обозначением):

\[
\begin{array}{cccc}
& & A & \\
& / & | & \ \\
& / & | & \ \\
& / & | & \ \\
B & ------- & H & \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c/ & | \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{array}
\]

В прямоугольном треугольнике HBH" (где H" - проекция вершины H на основание AB) гипотенуза равна боковому ребру пирамиды, то есть \(c = 8\) см, а катеты равны половине длины одного из оснований, то есть \(a = \frac{5}{2}\) см.

Так как у нас есть два катета и известно значение гипотенузы прямоугольного треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды.

Теорема Пифагора гласит: В прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется соотношение \(a^2 + b^2 = c^2\).

Применим эту формулу к нашей задаче:

\((\frac{5}{2})^2 + b^2 = 8^2\)

Упрощая, получаем:

\(\frac{25}{4} + b^2 = 64\)

Перенесем \(\frac{25}{4}\) на другую сторону и упростим:

\(b^2 = 64 - \frac{25}{4} = \frac{256 - 25}{4} = \frac{231}{4}\)

Теперь найдем корень из обеих частей уравнения, чтобы получить значение \(b\):

\(b = \sqrt{\frac{231}{4}}\)

Раскрывая корень, получаем:

\(b = \frac{\sqrt{231}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{231}}{2}\)

Мы нашли высоту пирамиды. Теперь мы можем использовать формулу для объема пирамиды.

Объем пирамиды рассчитывается по формуле \(V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h\), где \(S_{осн}\) - площадь основания и \(h\) - высота пирамиды.

Основание нашей пирамиды - треугольник со сторонами 5 и 8 см. Для правильного треугольника площадь можно найти по формуле \(S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\), где \(a\) - длина стороны основания.

Подставим известные значения:

\(S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4}\)

Теперь можно найти объем пирамиды:

\(V = \frac{1}{3} \times \frac{25\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{231}}{2}\)

Упрощая выражение, получаем:

\(V = \frac{25\sqrt{3}\sqrt{231}}{24}\)

Чтобы ответ был более точным, давайте оставим его в виде рационального приближения:

\(V \approx 13.96\) (округлено до двух знаков после запятой).

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды составляет приблизительно 13.96 кубических сантиметров.