Каков вектор ep в терминах векторов a=ab и b=ad, если в параллелограмме abcd точки p и e лежат на стороне

Чтобы найти вектор \( \vec{ep} \) в терминах векторов \( \vec{a} = \vec{ab} \) и \( \vec{b} = \vec{ad} \), нам понадобятся некоторые свойства параллелограмма.

Первое свойство, которое мы будем использовать, заключается в том, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Это означает, что координаты точки \( e \) равны половине суммы координат точек \( a \) и \( c \):
\[ \vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} \]

Второе свойство, которое нам понадобится, связано с отношением, в котором точка \( p \) делит отрезок \( \vec{dc} \). Мы знаем, что отношение \( \frac{dp}{pc} = \frac{3}{2} \), что означает, что \( \vec{dp} \) составляет третью часть отрезка \( \vec{dc} \), а \( \vec{pc} \) составляет две трети отрезка \( \vec{dc} \).

Теперь мы можем использовать эти свойства для нахождения вектора \( \vec{ep} \). Поскольку точка \( p \) делит отрезок \( \vec{dc} \) в отношении 3:2, мы можем записать:
\[ \vec{dp} = \frac{3}{5} \cdot \vec{dc} \]
\[ \vec{pc} = \frac{2}{5} \cdot \vec{dc} \]

Затем мы можем подставить выражения для векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) в выражение для вектора \( \vec{e} \):
\[ \vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{ab} + \vec{ad} + \vec{cd}}{2} \]

Теперь мы можем выразить вектор \( \vec{cd} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):
\[ \vec{cd} = \vec{cb} + \vec{bd} = -\vec{ba} + \vec{ad} \]

Подставим значение вектора \( \vec{cd} \) в выражение для вектора \( \vec{e} \):
\[ \vec{e} = \frac{\vec{ab} + \vec{ad} - \vec{ba} + \vec{ad}}{2} = \frac{2\vec{ad} + \vec{ab} - \vec{ba}}{2} \]

Известно, что \( \vec{ab} = \vec{a} \) и \( \vec{ba} = -\vec{a} \), поэтому мы можем переписать выражение для вектора \( \vec{e} \) в следующем виде:
\[ \vec{e} = \frac{2\vec{ad} + \vec{a} + \vec{a}}{2} = \frac{2\vec{ad} + 2\vec{a}}{2} = \vec{ad} + \vec{a} \]

И наконец, мы можем подставить значение вектора \( \vec{ad} \) в выражение для вектора \( \vec{e} \):
\[ \vec{e} = \vec{ad} + \vec{a} = \vec{b} + \vec{a} \]

Таким образом, вектор \( \vec{ep} \) в терминах векторов \( \vec{a} = \vec{ab} \) и \( \vec{b} = \vec{ad} \) равен вектору \( \vec{b} + \vec{a} \).