1. Какие измерения у прямоугольного параллелепипеда, если его основой является квадрат, диагональ равна 6 см

1. Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся информацией, предоставленной в условии. Мы знаем, что основа прямоугольного параллелепипеда является квадратом, а его измерения относятся как 1:1:2. Пусть каждая сторона квадрата составляет x см. Тогда другие измерения параллелепипеда будут равны x см, x см и 2x см соответственно.

Теперь давайте воспользуемся формулой для вычисления диагонали прямоугольного параллелепипеда:

$$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Где d - диагональ, a, b и c - стороны параллелепипеда.

Подставим наши измерения и диагональ в формулу и решим ее:

$$6=\sqrt{x^2+x^2+(2x{)}^2}$$

$$6=\sqrt{x^2+x^2+4x^2}$$

$$6=\sqrt{6x^2}$$

Теперь возводим в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от корня:

$$36=6x^2$$

$$6x^2=36$$

$$x^2=\frac{36}{6}$$

$$x^2=6$$

$$x=\sqrt{6}$$

Таким образом, сторона квадрата и другие измерения прямоугольного параллелепипеда равны $\sqrt{6}$ см, $\sqrt{6}$ см и $2\sqrt{6}$ см соответственно.

2. Давайте решим эту задачу пошагово. В начале упростим выражение в скобках:

$$\frac{81\cdot 2}{a^3}\cdot \frac{1}{b^4}\cdot c^5$$

Теперь применим логарифмирование по основанию 3 к выражению в скобках:

$${\log }_3(\frac{81\cdot 2}{a^3}\cdot \frac{1}{b^4}\cdot c^5)$$

Используем свойство логарифма, которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов:

$${\log }_{3}81+{\log }_{3}2-{\log }_3{a}^3-{\log }_3{b}^4+{\log }_3{c}^5$$

Упростим логарифмы:

$$4+{\log }_{3}2-3{\log }_{3}a-4{\log }_{3}b+5{\log }_{3}c$$

Таким образом, результат прологарифмирования и упрощения данного выражения будет:

$$4+{\log }_{3}2-3{\log }_{3}a-4{\log }_{3}b+5{\log }_{3}c$$

3а. Прежде чем ответить на этот вопрос, давайте разберемся с понятием плоскостей и прямых. Если две фигуры находятся в разных плоскостях, то их прямые не могут быть одной прямой. Кроме того, если у них есть общая сторона, то они будут пересекаться.

3b. Для определения угла между прямыми РК и АВ мы можем использовать теорему о сумме углов треугольника. В данном случае, у нас есть треугольник АВС, и мы знаем два угла в нем: АВС = 40 градусов и ВСА = 80 градусов. Чтобы найти угол между прямыми РК и АВ, нам нужно найти третий угол треугольника АВС, а затем вычесть из 180 градусов сумму двух известных углов.

Третий угол треугольника АВС можно найти следующим образом:

Угол АСВ = 180 - АВС - ВСА
Угол АСВ = 180 - 40 - 80
Угол АСВ = 60 градусов

Теперь, чтобы найти угол между прямыми РК и АВ, вычтем угол АСВ из 180 градусов:

Угол РКАВ = 180 - АСВ
Угол РКАВ = 180 - 60
Угол РКАВ = 120 градусов

Таким образом, угол между прямыми РК и АВ равен 120 градусов.

4. Найдем значения остальных трех тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса.

Мы знаем, что ctgx = -3 и 3П/2 < а < 2П.

Тангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, поэтому, чтобы найти значения остальных трех функций, мы можем воспользоваться тождествами:

$\tan x=\frac{1}{\cot x}$
${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

Зная значение ctgx, найдем значение tanx:

$\cot x=-3$
$\tan x=\frac{1}{\cot x}$
$\tan x=\frac{1}{-3}$
$\tan x=-\frac{1}{3}$

Теперь рассмотрим тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Так как ctgx = -3, то $\tan x=-\frac{1}{3}$, следовательно, $\sin x=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}$ и $\cos x=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}$.

Теперь мы можем найти значения трех функций:

$\sin x=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=-\frac{3}{\sqrt{10}}$
$\cos x=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10+1}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$
$\tan x=-\frac{1}{3}$

Таким образом, значения остальных трех функций равны:
$\sin x=-\frac{3}{\sqrt{10}}$
$\cos x=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$
$\tan x=-\frac{1}{3}$