1. Какие измерения у прямоугольного параллелепипеда, если его основой является квадрат, диагональ равна 6 см

1. Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся информацией, предоставленной в условии. Мы знаем, что основа прямоугольного параллелепипеда является квадратом, а его измерения относятся как 1:1:2. Пусть каждая сторона квадрата составляет x см. Тогда другие измерения параллелепипеда будут равны x см, x см и 2x см соответственно.

Теперь давайте воспользуемся формулой для вычисления диагонали прямоугольного параллелепипеда:

\[
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
\]

Где d - диагональ, a, b и c - стороны параллелепипеда.

Подставим наши измерения и диагональ в формулу и решим ее:

\[
6 = \sqrt{x^2 + x^2 + (2x)^2}
\]

\[
6 = \sqrt{x^2 + x^2 + 4x^2}
\]

\[
6 = \sqrt{6x^2}
\]

Теперь возводим в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от корня:

\[
36 = 6x^2
\]

\[
6x^2 = 36
\]

\[
x^2 = \frac{36}{6}
\]

\[
x^2 = 6
\]

\[
x = \sqrt{6}
\]

Таким образом, сторона квадрата и другие измерения прямоугольного параллелепипеда равны \(\sqrt{6}\) см, \(\sqrt{6}\) см и \(2\sqrt{6}\) см соответственно.

2. Давайте решим эту задачу пошагово. В начале упростим выражение в скобках:

\[
\frac{81 \cdot 2}{a^3} \cdot \frac{1}{b^4} \cdot c^5
\]

Теперь применим логарифмирование по основанию 3 к выражению в скобках:

\[
\log_3{\left(\frac{81 \cdot 2}{a^3} \cdot \frac{1}{b^4} \cdot c^5\right)}
\]

Используем свойство логарифма, которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов:

\[
\log_3{81} + \log_3{2} - \log_3{a^3} - \log_3{b^4} + \log_3{c^5}
\]

Упростим логарифмы:

\[
4 + \log_3{2} - 3\log_3{a} - 4\log_3{b} + 5\log_3{c}
\]

Таким образом, результат прологарифмирования и упрощения данного выражения будет:

\[
4 + \log_3{2} - 3\log_3{a} - 4\log_3{b} + 5\log_3{c}
\]

3а. Прежде чем ответить на этот вопрос, давайте разберемся с понятием плоскостей и прямых. Если две фигуры находятся в разных плоскостях, то их прямые не могут быть одной прямой. Кроме того, если у них есть общая сторона, то они будут пересекаться.

3b. Для определения угла между прямыми РК и АВ мы можем использовать теорему о сумме углов треугольника. В данном случае, у нас есть треугольник АВС, и мы знаем два угла в нем: АВС = 40 градусов и ВСА = 80 градусов. Чтобы найти угол между прямыми РК и АВ, нам нужно найти третий угол треугольника АВС, а затем вычесть из 180 градусов сумму двух известных углов.

Третий угол треугольника АВС можно найти следующим образом:

Угол АСВ = 180 - АВС - ВСА
Угол АСВ = 180 - 40 - 80
Угол АСВ = 60 градусов

Теперь, чтобы найти угол между прямыми РК и АВ, вычтем угол АСВ из 180 градусов:

Угол РКАВ = 180 - АСВ
Угол РКАВ = 180 - 60
Угол РКАВ = 120 градусов

Таким образом, угол между прямыми РК и АВ равен 120 градусов.

4. Найдем значения остальных трех тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса.

Мы знаем, что ctgx = -3 и 3П/2 < а < 2П.

Тангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, поэтому, чтобы найти значения остальных трех функций, мы можем воспользоваться тождествами:

\(\tan{x} = \frac{1}{\cot{x}}\)
\(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\)

Зная значение ctgx, найдем значение tanx:

\(\cot{x} = -3\)
\(\tan{x} = \frac{1}{\cot{x}}\)
\(\tan{x} = \frac{1}{-3}\)
\(\tan{x} = -\frac{1}{3}\)

Теперь рассмотрим тождество \(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\). Так как ctgx = -3, то \(\tan{x} = -\frac{1}{3}\), следовательно, \(\sin{x} = -\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{9}}}\) и \(\cos{x} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+ \frac{1}{9}}}\).

Теперь мы можем найти значения трех функций:

\(\sin{x} = -\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{9}}} = -\frac{3}{\sqrt{10}}\)
\(\cos{x} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+ \frac{1}{9}}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10+1}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}\)
\(\tan{x} = -\frac{1}{3}\)

Таким образом, значения остальных трех функций равны:
\(\sin{x} = -\frac{3}{\sqrt{10}}\)
\(\cos{x} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}\)
\(\tan{x} = -\frac{1}{3}\)