Каков объем правильной треугольной пирамиды, у которой апофема образует с плоскостью основания угол 30°, а ее высота

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, а также геометрические свойства правильной треугольной пирамиды.

По определению, правильная треугольная пирамида имеет треугольное основание и равные боковые грани. Пусть сторона основания треугольника имеет длину \(a\), высота пирамиды \(h\), а апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра основания) имеет длину \(r\).

Рассмотрим правильный треугольник, образованный основанием пирамиды и апофемой. В этом треугольнике угол между апофемой и плоскостью основания равен 30°. Поскольку треугольник является равносторонним, каждый угол основания равен 60°.

Теперь мы можем использовать свойства правильного треугольника для вычисления длины стороны основания треугольной пирамиды \(a\), а также для вычисления радиуса апофемы \(r\).

С помощью закона синусов мы можем записать следующее соотношение:

\[
\frac{r}{\sin 30°} = \frac{a}{\sin 60°}
\]

Поскольку \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) и \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем переписать это соотношение следующим образом:

\[
\frac{r}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\]

Раскрывая обратные значения синусов, получаем:

\[
r = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

Теперь мы можем выразить высоту пирамиды \(h\) в терминах стороны основания \(a\) и радиуса апофемы \(r\). По определению, высота пирамиды составляет расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания. Мы можем разделить пирамиду на две части: правильную треугольную пирамиду и правильный треугольник, который образуется внутри пирамиды.

Высота треугольника, образованного основанием и высотой пирамиды, равна \(\frac{2}{3}\) высоты пирамиды. Таким образом:

\[
\frac{2}{3}h = a
\]

Мы можем заменить \(a\) в этом уравнении радиусом апофемы \(r\), используя предыдущее соотношение:

\[
\frac{2}{3}h = r\sqrt{3}
\]

Разрешая это уравнение относительно высоты пирамиды \(h\), получаем:

\[
h = \frac{3r}{2\sqrt{3}}
\]

Теперь мы можем найти объем правильной треугольной пирамиды с помощью формулы:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{основания}} \cdot h
\]

Поскольку основание является равносторонним треугольником, площадь основания можно выразить следующим образом:

\[
A_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2
\]

Заменяя \(a\) на \(\frac{2\sqrt{3}r}{3}\), получаем:

\[
A_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{2\sqrt{3}r}{3} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{12r^2}{9} = \frac{2\sqrt{3}r^2}{3}
\]

Теперь мы можем заменить \(A_{\text{основания}}\) и \(h\) в формуле объема пирамиды:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}r^2}{3} \cdot \frac{3r}{2\sqrt{3}} = \frac{r^3}{3}
\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен \(\frac{r^3}{3}\).

Это подробное решение объясняет процесс вычисления объема пирамиды и дает школьнику понятное пошаговое решение задачи.