Необходимо доказать, что плоскости, содержащие точки m, p и k, параллельны плоскости

Данная задача требует доказательства параллельности плоскостей, которые проходят через заданные точки m, p и k. Для этого мы можем воспользоваться свойствами параллельных плоскостей.

Пусть плоскость A проходит через точки m, p и k, а плоскость B параллельна плоскости A. Мы должны доказать, что плоскости A и B параллельны.

Для начала, давайте рассмотрим нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости A обозначим как \(\vec{n_A}\), а нормаль к плоскости B как \(\vec{n_B}\).

Теперь, чтобы плоскости A и B были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы векторы \(\vec{n_A}\) и \(\vec{n_B}\) были коллинеарны, то есть сонаправлены или противоположно направлены.

Так как плоскость B является параллельной плоскости A, значит векторы нормалей \(\vec{n_A}\) и \(\vec{n_B}\) должны быть коллинеарными. Другими словами, вектор \(\vec{n_B}\) должен быть пропорционален вектору \(\vec{n_A}\), то есть \(\vec{n_B} = k \cdot \vec{n_A}\), где k - некоторая константа.

Теперь проведем логическое рассуждение. Пусть векторы \(\vec{n_A}\) и \(\vec{n_B}\) коллинеарны, то есть \(\vec{n_B} = k \cdot \vec{n_A}\). Тогда любая точка x на плоскости A будет удовлетворять уравнению плоскости A: \(\vec{n_A} \cdot \vec{x} + d_A = 0\), где d_A - некоторая константа.

Так как плоскость B параллельна плоскости A, то любая точка x на плоскости B должна также удовлетворять уравнению плоскости B: \(\vec{n_B} \cdot \vec{x} + d_B = 0\), где d_B - некоторая константа.

С учетом того, что \(\vec{n_B} = k \cdot \vec{n_A}\), мы можем переписать уравнение плоскости B следующим образом: \(k \cdot (\vec{n_A} \cdot \vec{x}) + d_B = 0\).

Таким образом, мы можем заключить, что любая точка x, удовлетворяющая уравнению плоскости A, также будет удовлетворять уравнению плоскости B, и наоборот. Это означает, что плоскости A и B имеют общие точки и, следовательно, они должны быть параллельными.

Таким образом, мы доказали, что плоскости, содержащие точки m, p и k, параллельны.

Данное доказательство основано на свойствах параллельных плоскостей и использовании алгебраических уравнений плоскостей. Это позволяет убедиться в правильности вывода и объяснить школьнику каждый шаг доказательства.