Какие значения коэффициента c дают единственную общую точку прямой x+y+c=0 и окружности x2+y2=72? Пожалуйста, запиши

Чтобы найти значения коэффициента \(c\), при которых прямая \(x+y+c=0\) имеет только одну общую точку с окружностью \(x^2+y^2=72\), мы должны выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Понять, что представляет собой общая точка прямой и окружности.
Общая точка прямой и окружности - это точка, которая принадлежит и прямой, и окружности одновременно.

Шаг 2: Запишем уравнение прямой в виде, удобном для нахождения общей точки.
Уравнение прямой \(x+y+c=0\) можно записать в виде \(y=-x-c\).

Шаг 3: Подставим это выражение для \(y\) в уравнение окружности, чтобы найти общую точку.
Подставим \(y=-x-c\) в уравнение окружности \(x^2+y^2=72\):
\[x^2+(-x-c)^2=72\]

Шаг 4: Решим полученное уравнение для \(x\).
Раскроем скобки в левой части уравнения и приведем его к квадратному виду:
\[x^2+x^2+2xc+c^2=72\]
\[2x^2+2xc+c^2-72=0\]

Шаг 5: Найдем дискриминант этого уравнения.
Дискриминант квадратного уравнения \(Ax^2+Bx+C=0\) можно найти по формуле \(D=B^2-4AC\).
В нашем случае \(A=2\), \(B=2c\), \(C=c^2-72\), поэтому:
\[D=(2c)^2-4(2)(c^2-72)\]
\[D=4c^2-8(c^2-72)=4c^2-8c^2+576\]
\[D=-4c^2+576\]

Шаг 6: Анализируем дискриминант.
У нас должно быть только одно решение, поэтому дискриминант должен равняться нулю: \(D=0\).
Подставим \(D=-4c^2+576\) и решим уравнение:
\[-4c^2+576=0\]
\[4c^2=576\]
\[c^2=144\]
\[c=\pm12\]

Шаг 7: Запишем значения \(c\) в порядке возрастания, разделяя их точкой с запятой:
\(c=-12;12\)

Таким образом, значения коэффициента \(c\), давшие единственную общую точку прямой \(x+y+c=0\) и окружности \(x^2+y^2=72\), - это \(-12\) и \(12\).