Каков объём правильной четырехугольной пирамиды с апофемой, равной 6 см, и двугранным углом при ребре основания, равным

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для вычисления объёма четырехугольной пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} S \cdot h \]

где \( V \) - объём пирамиды, \( S \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

Начнем с вычисления площади основания пирамиды. Она определяется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p \]

где \( a \) - длина стороны основания, \( p \) - периметр основания.

Основание нашей пирамиды - правильный четырехугольник. Для такого четырехугольника формула периметра принимает следующий вид:

\[ p = 4 \cdot a \]

Таким образом, можно записать:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot p = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 4 \cdot a = 2 \cdot a^2 \]

Теперь мы можем выразить высоту пирамиды через апофему и угол при ребре основания. Высота пирамиды связана с апофемой и углом следующим образом:

\[ h = a \cdot \sin \theta \]

где \( \theta \) - угол между апофемой и ребром основания.

У нас дан двугранный угол при ребре основания в 45 градусов. Таким образом, можем записать:

\[ h = a \cdot \sin 45^\circ = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь можно подставить все значения в формулу для объёма пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot a^3}{3} \]

Нам дано значение апофемы, равное 6 см. Чтобы найти объём пирамиды, нам нужно найти значение стороны основания \( a \).

Для этого мы можем использовать связь апофемы с радиусом описанной окружности правильной четырехугольной пирамиды:

\[ R = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \]

где \( R \) - радиус описанной окружности пирамиды.

Мы знаем, что апофема равна 6 см, поэтому:

\[ R = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \]

Решаем эту уравнение относительно \( a \):

\[ \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \Rightarrow a = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6 \cdot \sqrt{2} \]

Теперь мы можем подставить найденное значение стороны основания в формулу для объёма пирамиды:

\[ V = \frac{\sqrt{2} \cdot (6 \cdot \sqrt{2})^3}{3} = \frac{2 \cdot 6^3}{3} = \frac{2 \cdot 216}{3} = 2 \cdot 72 = 144 \]

Таким образом, объём данной пирамиды равен 144 кубическим сантиметрам.