Площу рівностороннього трикутника дорівнює 27√3 см². Виразіть відстань від площини трикутника до точки, розташованої

Рівносторонній трикутник має всі сторони рівної довжини. Нехай сторона трикутника дорівнює \(a\) см. Оскільки площа трикутника дорівнює \(27\sqrt{3}\) см\(^2\), ми можемо записати рівняння для площі трикутника:

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = 27\sqrt{3}\]

Щоб виразити довжину сторони \(a\), спочатку помножимо обидві сторони рівняння на \(\frac{4}{\sqrt{3}}\):

\[a^2 = 27\sqrt{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}\]

За допомогою спрощення, отримаємо:

\[a^2 = 108\]

Тепер візьмемо квадратний корінь по обидва боки рівняння, щоб виразити довжину сторони \(a\):

\[a = \sqrt{108}\]

Спрощуючи корінь, отримаємо:

\[a = 6\sqrt{3}\]

Тепер ми хочемо виразити відстань від площини трикутника до точки, яка розташована на однаковій відстані від кожної з його вершин, у новій формі.

Для цього нам потрібно знайти висоту рівностороннього трикутника. Висота рівностороннього трикутника - це відстань від центру трикутника до будь-якої його сторони.

У рівносторонньому трикутнику, висота є бісектрисою трикутника (лінією, що ділить сторону на дві рівні частини і проходить через протилежний кут). Так як наш трикутник рівносторонній, то висота також відома як медіана та медіана рівностороннього трикутника вдвічі довша від радіусу кола, вписаного у цей трикутник.

Тож, висота рівностороннього трикутника \(h\) використовуючи формулу радіуса кола, що вписується в рівносторонній трикутник, можна обчислити як \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Підставляючи значення довжини сторони \(a\), отримуємо:

\[h = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Отже, відстань від площини трикутника до точки, розташованої на однаковій відстані від кожної з його вершин, дорівнює 9 см.