Каков объем пирамиды с прямоугольным треугольником на основании, у которого гипотенуза равна 3 и один из углов равен

Для решения данной задачи посмотрим на основание пирамиды - прямоугольный треугольник. Мы знаем, что гипотенуза этого треугольника равна 3, а один из углов равен 30 градусов.

1. Воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника. Известно, что гипотенуза треугольника равна \(3\), поэтому можем найти другие стороны треугольника с помощью тригонометрических функций.

Зная угол \(30\) градусов и гипотенузу \(3\), мы можем использовать функцию синуса и косинуса, чтобы найти остальные стороны треугольника. По определению синуса:

\[\sin(30^\circ) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\]

\[\sin(30^\circ) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{3}}\]

Так как противоположный катет - это высота пирамиды, обозначим его буквой \(h\):

\[\sin(30^\circ) = \frac{{h}}{{3}}\]

Теперь решим это уравнение относительно \(h\):

\[h = 3 \cdot \sin(30^\circ) = 3 \cdot \frac{{1}}{{2}} = \frac{{3}}{{2}}\]

2. Теперь рассмотрим боковые ребра пирамиды, которые наклонены к основанию под углом 60 градусов. Эти ребра - это катеты нашего прямоугольного треугольника.

Для нахождения катетов воспользуемся тригонометрической функцией косинуса. По определению косинуса:

\[\cos(60^\circ) = \frac{{\text{прилегающий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\]

\[\cos(60^\circ) = \frac{{\text{прилегающий катет}}}{{3}}\]

Так как прилегающий катет - это половина основания пирамиды, обозначим его буквой \(a\):

\[\cos(60^\circ) = \frac{{a}}{{3}}\]

Теперь решим это уравнение относительно \(a\):

\[a = 3 \cdot \cos(60^\circ) = 3 \cdot \frac{{1}}{{2}} = \frac{{3}}{{2}}\]

3. Теперь, когда у нас есть все стороны прямоугольного треугольника, мы можем найти площадь его основания.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{{1}}{{2}} \cdot a \cdot h\]

где \(S\) - площадь, \(a\) - длина основания, \(h\) - высота треугольника. Подставим значения:

\[S = \frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{3}}{{2}} \cdot \frac{{3}}{{2}} = \frac{{9}}{{8}}\]

4. Наконец, мы можем найти объем пирамиды, умножив площадь основания на высоту пирамиды:

\[V = S \cdot H\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания, \(H\) - высота пирамиды. Подставим значения:

\[V = \frac{{9}}{{8}} \cdot \frac{{3}}{{2}} = \frac{{27}}{{16}}\]

Таким образом, объем пирамиды с прямоугольным треугольником на основании, у которого гипотенуза равна 3, один из углов равен 30 градусов, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 градусов, равен \(\frac{{27}}{{16}}\). Ответ: \(\frac{{27}}{{16}}\).