Каков периметр квадрата, у которого длина диагонали составляет 16 см, если его вершины находятся в серединах сторон?

Чтобы найти периметр \(P\) квадрата, у которого длина диагонали составляет 16 см, будем использовать следующий подход.

Дано, что вершины квадрата находятся в серединах сторон. Предположим, что сторона квадрата имеет длину \(x\) см. Тогда диагональ с длиной 16 см является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого катеты равны половине длины стороны квадрата.

Используя теорему Пифагора, мы можем составить уравнение для нахождения значения \(x\):

\[\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 16^2\]

Решим это уравнение по шагам. Сначала упростим его, возведя оба катета в квадрат:

\[\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 16^2\]

Затем объединим дроби с общим знаменателем:

\[\frac{2x^2}{4} = 16^2\]

Сокращаем числитель на 2:

\[\frac{x^2}{2} = 16^2\]

Далее, умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[x^2 = 2 \cdot 16^2\]

Вычислим значение справа от равенства:

\[x^2 = 2 \cdot 256\]

Перемножаем числа:

\[x^2 = 512\]

Чтобы найти значение \(x\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[x = \sqrt{512}\]

Теперь вычислим точное значение квадратного корня:

\[x \approx 22.63\]

Как мы знаем, периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. У нас есть только одна сторона, поэтому периметр равен:

\[P = 4x \approx 4 \cdot 22.63 \approx 90.52\]

Итак, периметр квадрата составляет примерно 90.52 см.