Каков объем пирамиды с правильным четырехугольным основанием стороной, равной 8 корень3, если угол между ее боковой

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для объёма пирамиды. Объём пирамиды можно вычислить по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h, \]
где
\( V \) - объём пирамиды,
\( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды,
\( h \) - высота пирамиды.

Поскольку у нас правильное четырёхугольное основание, площадь основания можно найти по формуле:
\[ S_{\text{осн}} = a^2, \]
где
\( a \) - длина стороны основания.

Зная, что сторона основания равна \( 8\sqrt{3} \), мы можем найти площадь основания:
\[ S_{\text{осн}} = (8\sqrt{3})^2 = 64 \times 3 = 192. \]

Осталось узнать высоту пирамиды. Для этого нам потребуется теорема косинусов. В данной задаче, угол, образованный боковой гранью пирамиды и плоскостью основания составляет \(\theta\). Расстояние от вершины пирамиды до центра основания обозначим буквой \(h\). Тогда, согласно теореме косинусов, мы можем записать:
\[ \cos(\theta) = \frac{h}{a}, \]
где
\( \cos(\theta) \) - косинус угла \( \theta \),
\( h \) - высота пирамиды,
\( a \) - длина стороны основания.

Решая данное уравнение относительно \( h \), получаем:
\[ h = a \times \cos(\theta). \]

Подставив значения \( a = 8\sqrt{3} \) и известное нам значение угла \( \theta \), мы можем найти высоту пирамиды:
\[ h = 8\sqrt{3} \times \cos(\theta). \]

Теперь, используя найденные значения площади основания и высоты пирамиды, мы можем найти объём пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \times 192 \times (8\sqrt{3} \times \cos(\theta)). \]

Осталось только подставить известные значения основания и угла и выполнить необходимые вычисления, чтобы найти значение объёма пирамиды.