1. Докажите, что угол ABC равен углу BCD в четырехугольнике ABCD, пересекающемся диагоналями в точке O и с условием

Для начала рассмотрим первую задачу.

1. Докажите, что угол ABC равен углу BCD в четырехугольнике ABCD, пересекающемся диагоналями в точке O и с условием, что AO=OD и BO=OC.

Решение:
Чтобы доказать равенство углов ABC и BCD, мы воспользуемся тем, что в пересекающихся хордах диагоналей все углы противоположные одноименным углам.

Итак, у нас есть равенства AO=OD и BO=OC. Рассмотрим треугольники ABO и DCO:

Так как AO=OD и BO=OC, то стороны треугольников ABO и DCO равны.
Также, по условию, у нас есть пересекающиеся хорды AC и BD, и точка их пересечения - точка O.

Используя теорему о пересекающихся хордах, мы имеем:
Угол ABC = Угол ABO + Угол OBC
Угол BCD = Угол DCO + Угол OCB

Так как стороны треугольников ABO и DCO равны, их углы противоположные одноименным углам также равны, поэтому:
Угол ABO = Угол DCO (так как AO=OD и BO=OC)
Угол OBC = Угол OCB (в пересекающихся хордах углы противоположные одноименным углам равны)

Таким образом, мы получили:
Угол ABC = Угол ABO + Угол OBC = Угол DCO + Угол OCB = Угол BCD.

Таким образом, мы доказали, что угол ABC равен углу BCD в четырехугольнике ABCD.

Перейдем ко второй задаче.

2. Докажите, что BE=BK внутри угла ABC, где на его сторонах отложены равные отрезки BA и BC, а также взяты точки E и K таким образом, что угол ABK равен углу CBE и угол BAE равен углу

Решение:
Для доказательства равенства отрезков BE и BK воспользуемся тем, что если две стороны треугольников равны и углы между ними тоже равны, то треугольники равны.

Итак, у нас есть отложенные на сторонах угла ABC равные отрезки BA и BC, и точки E и K такие, что угол ABK равен углу CBE, а угол BAE равен углу BCA.

Рассмотрим треугольники ABK и BCE:

У нас есть:
AB = BC (отложенные на сторонах угла ABC равные отрезки)
Угол ABK = Угол CBE (по условию)
Угол BAE = Угол BCA (по условию)

Таким образом, мы видим, что у нас есть два треугольника с равными сторонами и равными углами между ними.

Используя теорему о равенстве треугольников, мы можем сделать вывод, что треугольники ABK и BCE равны.

Видим, что отрезок BE является боковой стороной треугольника BCE, а отрезок BK - боковой стороной треугольника ABK. Так как треугольники равны, то боковые стороны этих треугольников также равны.

Таким образом, BE=BK внутри угла ABC.

Мы успешно доказали, что BE и BK равны в данной задаче.