Каков объем конуса, если его боковая поверхность свернута из полукруга радиусом 5? Пожалуйста, выведите решение

Для вычисления объема конуса, нам необходимо использовать формулу объема конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса, а \(\pi\) - математическая постоянная, округленная до трех знаков после запятой, примерно равная 3,141.

В данной задаче у нас есть информация о полукруге радиусом 5. Полукруг вращается вокруг своей оси и тем самым образует боковую поверхность конуса.

Для начала, найдем длину окружности полукруга. Формула для вычисления длины окружности: \(C = \pi d\), где \(d\) - диаметр окружности. В нашем случае, диаметр равен \(2r = 2 \cdot 5 = 10\). Следовательно, длина окружности будет \(C = \pi \cdot 10 = 10\pi\).

Теперь у нас есть основание конуса, которое представляет собой полукруг, и мы знаем длину его окружности. Чтобы найти высоту конуса, нам нужно использовать связь между длиной окружности основания и боковой поверхностью конуса.

Формула для связи между боковой поверхностью и длиной окружности основания: \(S = \pi r l\), где \(S\) - площадь основания, \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса (в данном случае равна длине окружности основания).

Так как у нас полукруг, его площадь равна \(\frac{1}{2} \pi r^2\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[\frac{1}{2} \pi r^2 = \pi r l \Rightarrow \frac{1}{2} r = l\]

Теперь мы знаем, что образующая конуса - это половина радиуса основания.

Используя теорему Пифагора, можем найти высоту конуса. В прямоугольном треугольнике, образованном ребром конуса, радиусом основания и образующей, применим теорему Пифагора: \(l^2 = r^2 + h^2\). Подставляя значение \(l = \frac{1}{2} r\), получаем:

\[\left(\frac{1}{2} r\right)^2 = r^2 + h^2\]

Распишем уравнение:

\[\frac{1}{4} r^2 = r^2 + h^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = \frac{3}{4} r^2\]

Теперь, чтобы найти высоту конуса, нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[h = \sqrt{\frac{3}{4} r^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{4} r^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} r\]

Мы нашли высоту конуса. Теперь можем подставить значения радиуса \(r\) и высоты \(h\) в формулу объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot 3.141 \cdot 5^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = 62.5 \sqrt{3}\]

Ответ: объем конуса, если его боковая поверхность свернута из полукруга радиусом 5, равен \(62.5 \sqrt{3}\) (см³).