1. На плоскости имеются три точки A, B и C, которые не расположены на одной прямой. Точка D находится вне плоскости

Решение:

1. Для того чтобы определить, является ли четырехугольник ABCD трапецией, нам необходимо проверить выполнение определенного условия. В трапеции, параллельные стороны называются основаниями, а две другие стороны - боковыми. Условием является то, что одна пара противоположных сторон должна быть параллельна. Давайте проверим это условие.

Чтобы убедиться, что стороны AB и CD являются параллельными, нам нужно установить, что отношение расстояний между точками A и B к расстояниям между точками C и D равно. Другими словами, если \(AB || CD\), то должно выполняться \( \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}\).

Теперь, когда мы знаем это условие, давайте расмотрим ситуацию. Если отношение \(\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}\) выполняется, то четырехугольник ABCD будет трапецией. Если это условие не выполняется, то ABCD не является трапецией.

2. Чтобы найти длину отрезка A1B1, нам дана известная длина AB, обозначенная буквой а. Мы имеем дело с двумя параллельными плоскостями АВ и A1B1. Поскольку эти плоскости параллельны, прямые АА1 и ВВ1 также будут параллельными.

Изображение, описывающее ситуацию, будет иметь две плоскости, изображенные горизонтально. Отрезок AB будет лежать на одной плоскости, а отрезок A1B1 - на второй плоскости, лежащей параллельно первой.

Чтобы найти длину отрезка A1B1, мы можем использовать сходные треугольники. Треугольник АА1В и треугольник ВВ1B являются сходными, поскольку у них соответствующие углы равны.

Таким образом, длина отрезка A1B1 будет равна длине отрезка AB, умноженной на отношение расстояний между соответствующими точками A1 и A, и между B1 и B.

Математически это можно записать как:

\[ A1B1 = AB \cdot \frac{A1A}{AB} = AB \cdot \frac{B1B}{AB} \]

Упростив выражение, мы получим:

\[ A1B1 = A1A = B1B = a \]

Таким образом, длина отрезка A1B1 будет такой же, как и длина отрезка AB, и будет равна a.