Каков объем цилиндра, в котором вписана призма с основанием в виде прямоугольного треугольника, у которого один катет

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Начнем с осевого сечения цилиндра. Зная, что площадь осевого сечения цилиндра равна 24 см², мы можем обозначить эту площадь как \(S\).

2. Поскольку цилиндр содержит вписанную призму с основанием в виде прямоугольного треугольника, давайте обратимся к этой призме. Площадь основания этой призмы будет равна половине площади осевого сечения цилиндра, то есть \(S/2\).

3. У нас есть прямоугольный треугольник с катетом, равным \(2\sqrt{3}\) см, и углом между катетом и гипотенузой, равным 30 градусов. Используя геометрические свойства прямоугольных треугольников, мы можем определить основание и высоту этого треугольника.

4. Так как треугольник является прямоугольным, то мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти высоту треугольника.
\(\sin(30^\circ) = \frac{\text{высота}}{\text{гипотенуза}}\). Подставим известные значения: \(\sin(30^\circ) = \frac{\text{высота}}{2\sqrt{3}}\). Решаем уравнение: \(\text{высота} = \sin(30^\circ) \cdot 2\sqrt{3}\).

5. Также, зная катет и угол в прямоугольном треугольнике, мы можем использовать косинус для нахождения основания треугольника.
\(\cos(30^\circ) = \frac{\text{основание}}{\text{гипотенуза}}\). Подставим известные значения: \(\cos(30^\circ) = \frac{\text{основание}}{2\sqrt{3}}\). Решаем уравнение: \(\text{основание} = \cos(30^\circ) \cdot 2\sqrt{3}\).

6. Мы нашли основание и высоту прямоугольного треугольника, поэтому можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). Подставляем найденные значения: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \cos(30^\circ) \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) \cdot 2\sqrt{3}\).

7. Получаем \(S_{\text{треугольника}} = \sqrt{3}\).

8. Так как площадь треугольника равна половине площади осевого сечения цилиндра, мы можем записать уравнение: \(\frac{1}{2} \cdot S_{\text{треугольника}} = 24\). Подставляем значение площади треугольника: \(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = 24\).

9. Решаем это уравнение: \(\sqrt{3} = 48\).

10. Теперь мы знаем площадь основания цилиндра и площадь осевого сечения цилиндра. Объем цилиндра можно найти, используя формулу \(V = S_{\text{основания}} \cdot h\), где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра.

11. Подставляем значения: \(V = 24 \cdot \frac{48}{\sqrt{3}}\).

12. Упрощаем эту формулу: \(V = 768 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\).

13. Рационализируем дробь, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(V = \frac{768\sqrt{3}}{3}\).

14. Окончательный ответ: объем цилиндра, в котором вписана призма с основанием в виде прямоугольного треугольника, равен \(\frac{768\sqrt{3}}{3}\) кубических сантиметра.