1. What is the surface area of the lateral side of pyramid DАВС, given that the base triangle АВС has sides of equal

1. Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды DАВС, нужно вычислить площадь треугольника АВС, а затем умножить на половину периметра основания.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника АВС, используя формулу Герона. Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника АВС. В данном случае, \(a = 15\), \(b = 15\) и \(c = 18\).

Периметр треугольника\(p\) равен сумме длин всех его сторон: \(p = a + b + c\).

Полупериметр треугольника \(s\) будет равен половине периметра: \(s = \frac{p}{2}\).

Площадь треугольника \(S\) можно вычислить по формуле Герона: \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\).

Найдем значение площади треугольника АВС:
\[s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 15 + 18}{2} = 24\]

\[S = \sqrt{24(24-15)(24-15)(24-18)}\]
\[S = \sqrt{24 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 6}\]
\[S = \sqrt{11664} = 108\]

Шаг 2: Вычислим полупериметр основания треугольника АВС:
\[s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 15 + 18}{2} = 24\]

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды DАВС, умножив площадь треугольника на полупериметр основания:
\[S_{бок} = S \cdot s = 108 \cdot 24 = 2592\]

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды DАВС равна 2592.

2. В этом задании нужно найти длину стороны основания правильной шестиугольной пирамиды.

Шаг 1: Разобьем пирамиду на две части - основание и боковую поверхность.

Шаг 2: Обратимся к основанию - правильному шестиугольнику. Обозначим его сторону как \(s\).

Шаг 3: Построим прямую, соединяющую его центр с любой вершиной основания. Получим равнобедренный треугольник, так как каждая из его сторон будет равна латеральной грани пирамиды.

Шаг 4: Используя свойства равнобедренного треугольника, найдем его высоту, проходящую через вершину и перпендикулярную основанию. Обозначим эту высоту как \(h\).

Шаг 5: Применим теорему Пифагора к треугольнику, на котором базируется пирамида, чтобы найти длину стороны основания.

В нашем случае высота \(h\) равна 3, а латеральная грань прямоугольного треугольника равна 5. Основание треугольника - самая длинная сторона, которая нам и нужна.

\[OS^2 = HS^2 + HO^2\]
\[s^2 = 3^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2\]
\[s^2 = 9 + \frac{s^2}{4}\]
\[4s^2 = 36 + s^2\]
\[3s^2 = 36\]
\[s^2 = \frac{36}{3} = 12\]
\[s = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Ответ: Длина стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равна \(2\sqrt{3}\).

3. В этой задаче требуется найти длину бокового ребра пирамиды DАВС.

Шаг 1: Обратимся к основанию пирамиды - прямоугольному треугольнику АВС.

Шаг 2: Один из катетов этого треугольника равен 10 (по условию), а высота пирамиды равна 12.

Шаг 3: Разобьем пирамиду на две части: основание и боковую поверхность.

Шаг 4: Найдем длину бокового ребра пирамиды с помощью теоремы Пифагора. Для этого понадобится вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника АВС.

\[BC^2 = AC^2 + AB^2\]
\[BC^2 = 10^2 + 12^2\]
\[BC^2 = 100 + 144 = 244\]
\[BC = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}\]

Ответ: Длина бокового ребра пирамиды DАВС равна \(2\sqrt{61}\).