Каков минимальный период обращения спутника Земли при заданной плотности p=5.5 г/см³?

Определение периода обращения спутника Земли связано с законом тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Минимальный период обращения спутника Земли можно найти, используя формулу периода обращения:

\[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{G M}}\]

Где:
\(T\) - период обращения спутника (выраженный в секундах),
\(\pi\) - математическая константа "Пи" (приблизительно равна 3.14159),
\(R\) - радиус орбиты спутника (выраженный в метрах),
\(G\) - гравитационная постоянная (приблизительно равна \(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)),
\(M\) - масса Земли (выраженная в килограммах).

Определение радиуса орбиты спутника связано с плотностью (\(p\)) и его массой (\(m\)), используя следующую формулу:

\[m = \dfrac{4}{3}\pi R^3 p\]

Мы можем найти радиус орбиты, решив эту формулу относительно \(R\):

\[R = \left(\dfrac{3m}{4\pi p}\right)^{1/3}\]

Подставим это значение \(R\) в формулу периода обращения, чтобы найти минимальный период:

\[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{3m}{4\pi p}\right)^{1/3}}{G M}}\]

Теперь мы можем решить эту формулу, подставив значения \(p\) и другие известные величины. В данном случае \(p = 5.5\, \text{г/см}^3\), но нам нужно преобразовать эту единицу измерения к системе Международных единиц (СИ). 1 г/см³ эквивалентно \(1000\, \text{кг/м}^3\). Чтобы найти массу Земли (\(M\)), мы можем использовать известное значение ее плотности (\(p_M = 5514\, \text{кг/м}^3\)) и радиус Земли (\(R_M = 6371\, \text{км}\)):

\[M = \dfrac{4}{3}\pi R_M^3 p_M\]

Теперь, давайте подставим все значения и решим эту задачу:

\[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{3m}{4\pi p}\right)^{1/3}}{G M}}\]
\[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{3 \cdot 1}{4\pi \cdot 5.5 \cdot 1000}\right)^{1/3}}{6.67430 \times 10^{-11} \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot (6371 \times 10^3)^3 \cdot 5514}}\]
\[T \approx 5774 \text{ секунды}\]

Таким образом, минимальный период обращения спутника Земли с заданной плотностью \(p = 5.5\, \text{г/см}^3\) составляет около 5774 секунды.