Каков косинус угла между векторами a и b, где a = 4m - p, b = m + 2p, m является перпендикулярным p, и |m| = |p|

Для решения этой задачи нам необходимо найти косинус угла между векторами a и b. Для этого мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов a и b можно вычислить следующим образом:

\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta)\]

где \(|a|\) и \(|b|\) - длины векторов a и b соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами a и b.

Дано, что вектор a равен 4m - p, вектор b равен m + 2p, m является перпендикулярным p, и длина вектора m равна длине вектора p (|m| = |p|).

Для начала, давайте найдем длины векторов a и b:

\(|a| = \sqrt{(4m - p) \cdot (4m - p)}\) (формула длины вектора)
\(|b| = \sqrt{(m + 2p) \cdot (m + 2p)}\) (формула длины вектора)

Теперь, нам нужно найти скалярное произведение векторов a и b:

\(a \cdot b = (4m - p) \cdot (m + 2p)\) (формула скалярного произведения векторов)

После вычисления скалярного произведения векторов a и b, мы можем использовать найденное значение, чтобы найти косинус угла \(\theta\):

\(\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\) (формула для вычисления косинуса угла)

Теперь, подставим все значения и проведем вычисления:

\(|a| = \sqrt{(4m - p) \cdot (4m - p)} = \sqrt{16m^2 - 8mp + p^2}\)
\(|b| = \sqrt{(m + 2p) \cdot (m + 2p)} = \sqrt{m^2 + 4mp + 4p^2}\)

\(a \cdot b = (4m - p) \cdot (m + 2p) = 4m^2 - 2mp + 8p^2\)

Теперь, вычислим косинус угла \(\theta\):

\(\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{4m^2 - 2mp + 8p^2}{\sqrt{16m^2 - 8mp + p^2} \cdot \sqrt{m^2 + 4mp + 4p^2}}\)

Таким образом, мы получили косинус угла между векторами a и b.