В треугольнике ABC, где ABC - в равносторонний треугольник, точка O - центр описанной окружности, AO = 2 см. Найдите

1) Длина BC:
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Таким образом, сторона AB, сторона BC и сторона AC треугольника ABC имеют одинаковую длину. Пусть эта длина равна х см.
Так как ABC - равносторонний треугольник, то угол ABC равен 60 градусам.
Рассмотрим треугольник ABO. Так как O - центр описанной окружности, то радиус этой окружности равен AO.
Известно, что AO = 2 см.
Так как радиус описанной окружности перпендикулярен стороне треугольника, то угол BAO прямой. Это означает, что треугольник ABO - прямоугольный. Поэтому, используя теорему Пифагора, можно найти длину стороны AB:
\[AB = \sqrt{(AO^2 + OB^2)}\]
Так как треугольник ABO - прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора ещё раз, чтобы найти длину стороны BO:
\[BO = \sqrt{(AB^2 - AO^2)}\]
Раскрытие скобок даст:
\[AB = \sqrt{(4 + BO^2)}\]
\[BO = \sqrt{(AB^2 - 4)}\]
Однако, мы знаем, что AB = BC = AC = х, так как треугольник ABC - равносторонний.
Подставим это значение в уравнения со сторонами треугольника ABO:
\[х = \sqrt{(4 + \sqrt{(х^2 - 4})^2)}\]
Возводим это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[х^2 = 4 + \sqrt{(х^2 - 4})^2\]
\[х^2 = 4 + (х^2 - 4)\]
Раскрытие скобок даст:
\[х^2 = х^2\]
Это значит, что х может быть любым числом. Однако, в данной задаче мы знаем, что стороны треугольника измеряются в сантиметрах, поэтому нам нужно выбрать такое значение х, которое будет иметь смысл. Так как АО равно 2 см, мы можем выбрать х = 2.
Ответ: Длина BC равна 2 сантиметрам.

2) Длина 2AO + 2CO:
Мы уже знаем, что AO = 2 см. Нам нужно найти длину 2AO + 2CO. Подставляя известные значения, получаем:
\[2AO + 2CO = 2 \cdot 2 + 2CO = 4 + 2CO\]
Мы не знаем значение CO, но мы можем выразить его через сторону треугольника, используя известный факт:
Одной трети высоты равностороннего треугольника со стороной а равна \(h = \frac{\sqrt{3}a}{2}\).
Заметим, что CO - это высота треугольника ABC, проходящая через вершину C.
Таким образом, высота треугольника ACB равна \(h = \frac{\sqrt{3}х}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} = \sqrt{3}\).

Подставим это значение в выражение:
\[2AO + 2CO = 4 + 2CO = 4 + 2 \sqrt{3}\]
Ответ: Длина 2AO + 2CO равна \(4 + 2 \sqrt{3}\) см.

3) Разность между длиной AC и \(\frac{3}{2}OC\):
Мы уже знаем, что стороны треугольника ABC равны х см. Мы также знаем, что сторона CO равна \(\frac{\sqrt{3}x}{2}\) см.

\[AC = х\]
\[OC = \frac{\sqrt{3}х}{2}\]

Тогда разность между AC и \(\frac{3}{2}OC\) равна:
\[AC - \frac{3}{2}OC = х - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}х}{2}\]
\[= х - \frac{3\sqrt{3}х}{4}\]
\[= \frac{4х}{4} - \frac{3\sqrt{3}х}{4}\]
\[= \frac{х}{4}(4 - 3\sqrt{3})\]

Ответ: Разность между длиной AC и \(\frac{3}{2}OC\) равна \(\frac{х}{4}(4 - 3\sqrt{3})\) см.