Какова высота правильной треугольной пирамиды, если длина стороны основания равна 72 м, а угол между боковым ребром

Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, у нас есть длина стороны основания и угол между боковым ребром и плоскостью основания. Давайте воспользуемся геометрическими свойствами этой пирамиды для нахождения решения.

Выберем одну из боковых граней пирамиды и нарисуем прямоугольный треугольник, образованный стороной основания, боковым ребром и высотой пирамиды.

\[
\begin{array}
{lll}
& \begin{array}{c}
/| \\
/ | \\
/ |h \\
\end{array}
& \begin{array}{c}
A \\
| / \
/ \
/_____\
\end{array}
\
\end{array}
\]

В этом треугольнике у нас есть гипотенуза - боковое ребро пирамиды, которое обозначим как \(c\), катет - половину стороны основания, или \(\frac{a}{2}\), и угол между гипотенузой и катетом, равный 30°.

Давайте найдем значение катета \(\frac{a}{2}\) с помощью тригонометрии. Воспользуемся тригонометрическим соотношением для синуса:

\[
\sin(30^{\circ}) = \frac{\frac{a}{2}}{c}
\]

Заметим, что \(\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}\), поэтому уравнение упростится:

\[
\frac{1}{2} = \frac{\frac{a}{2}}{c}
\]

Теперь решим уравнение относительно \(\frac{a}{2}\):

\[
\frac{1}{2}c = \frac{a}{2}
\]

Обозначим \(\frac{a}{2}\) как \(b\) для удобства:

\[
\frac{1}{2}c = b
\]

Теперь мы знаем, что один из катетов прямоугольного треугольника равен \(b\), а гипотенуза равна \(c\). Мы также знаем, что это прямоугольный треугольник, поэтому можем использовать теорему Пифагора:

\[
c^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2
\]

Подставим значение \(b\) из предыдущего шага:

\[
c^2 = (\frac{1}{2}c)^2 + (\frac{a}{2})^2
\]

Раскроем скобки:

\[
c^2 = \frac{1}{4}c^2 + \frac{1}{4}a^2
\]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[
0 = \frac{1}{4}c^2 - c^2 + \frac{1}{4}a^2
\]

Упростим уравнение:

\[
0 = -\frac{3}{4}c^2 + \frac{1}{4}a^2
\]

Теперь наша задача - найти высоту пирамиды \(h\). Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора в основании пирамиды:

\[
a^2 = (\frac{a}{2})^2 + h^2
\]

Раскрываем скобки:

\[
a^2 = \frac{1}{4}a^2 + h^2
\]

Упростим уравнение:

\[
0 = -\frac{3}{4}a^2 + h^2
\]

Теперь мы имеем два уравнения:

\[
\begin{cases}
0 = -\frac{3}{4}c^2 + \frac{1}{4}a^2 \\
0 = -\frac{3}{4}a^2 + h^2
\end{cases}
\]

Теперь решим эти уравнения методом подстановки.

Из первого уравнения получим:

\[
a^2 = 3c^2
\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[
0 = -\frac{3}{4}(3c^2) + h^2
\]

Упростим уравнение:

\[
0 = -\frac{9}{4}c^2 + h^2
\]

Теперь выразим \(h\):

\[
h^2 = \frac{9}{4}c^2
\]

\[
h = \frac{3}{2}c
\]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{3}{2}\) длины бокового ребра \(c\).

В нашем задании дана длина стороны основания, а не длина бокового ребра. Для нахождения длины бокового ребра \(c\) воспользуемся основным свойством треугольника, а именно:

\[
c = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

Подставляем это выражение для \(c\) в выражение для высоты \(h\):

\[
h = \frac{3}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}a}{2}
\]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{\sqrt{3}a}{2}\), где \(a\) - длина стороны основания пирамиды.

Надеюсь, это понятно для школьника. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте.