Каков косинус меньшего угла треугольника, если известны координаты его вершин: C(-2; 8), P(6; 2) и M(2; -6)?

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника, необходимо использовать формулу косинусов. Данная формула гласит:

\[
\cos(\theta) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}
\]

Где \(\theta\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\), \(c\) - третья сторона треугольника.

Давайте сначала найдем длины сторон треугольника, используя заданные координаты вершин C(-2; 8), P(6; 2) и M(2; -6).

Длина стороны CP можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[
CP = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Где \((x_1, y_1)\) - координаты точки C, а \((x_2, y_2)\) - координаты точки P. Подставляя значения из задачи, получаем:

\[
CP = \sqrt{{(6 - (-2))^2 + (2 - 8)^2}}
\]

\[
CP = \sqrt{{8^2 + (-6)^2}}
\]

\[
CP = \sqrt{{64 + 36}}
\]

\[
CP = \sqrt{{100}}
\]

\[
CP = 10
\]

Аналогично, найдем длины сторон MP и MC:

\[
MP = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} = \sqrt{{(2 - 6)^2 + (-6 - 2)^2}} = \sqrt{{(-4)^2 + (-8)^2}} = \sqrt{{16 + 64}} = \sqrt{{80}} = 4\sqrt{{5}}
\]

\[
MC = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} = \sqrt{{(-2 - 2)^2 + (8 - (-6))^2}} = \sqrt{{(-4)^2 + (14)^2}} = \sqrt{{16 + 196}} = \sqrt{{212}}
\]

Теперь у нас есть значения сторон треугольника: \(CP = 10\), \(MP = 4\sqrt{{5}}\) и \(MC = \sqrt{{212}}\).

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника, нужно определить наибольшую сторону и затем использовать оставшиеся две стороны в формуле косинусов.

Сравним значения \(CP\), \(MP\) и \(MC\). Самое большое значение здесь - \(CP = 10\). Таким образом, угол C является наибольшим углом в треугольнике.

В данном случае, меньшим углом является угол в вершине P. Поэтому мы будем использовать стороны MP и MC в формуле косинусов:

\[
\cos(\theta) = \frac{{MP^2 + MC^2 - CP^2}}{{2 \cdot MP \cdot MC}}
\]

Подставляем значения:

\[
\cos(\theta) = \frac{{(4\sqrt{{5}})^2 + (\sqrt{{212}})^2 - 10^2}}{{2 \cdot 4\sqrt{{5}} \cdot \sqrt{{212}}}}
\]

Выполняем необходимые вычисления:

\[
\cos(\theta) = \frac{{80 + 212 - 100}}{{8\sqrt{{5}} \cdot \sqrt{{212}}}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{192}}{{8\sqrt{{5}} \cdot \sqrt{{212}}}}
\]

Для упрощения выражения, мы можем разделить числитель и знаменатель на 8:

\[
\cos(\theta) = \frac{{24}}{{\sqrt{{5}} \cdot \sqrt{{212}}}}
\]

Теперь перепишем знаменатель с помощью свойства квадратных корней:

\[
\cos(\theta) = \frac{{24}}{{\sqrt{{5 \cdot 212}}}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{24}}{{\sqrt{{1060}}}}
\]

Не забывайте, что мы хотим ответить на вопрос "Каков косинус меньшего угла треугольника". Чтобы получить точный ответ, мы можем округлить числитель и знаменатель до десятичных знаков:

\[
\cos(\theta) \approx \frac{{24}}{{32.62}} \approx 0.735
\]

Таким образом, косинус меньшего угла треугольника является примерно 0.735.