Каков косинус меньшего угла треугольника, если известны координаты его вершин: C(-2; 8), P(6; 2) и M(2; -6)?

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника, необходимо использовать формулу косинусов. Данная формула гласит:

$$\cos (\theta )=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

Где $\theta$ - угол между сторонами $a$ и $b$, $c$ - третья сторона треугольника.

Давайте сначала найдем длины сторон треугольника, используя заданные координаты вершин C(-2; 8), P(6; 2) и M(2; -6).

Длина стороны CP можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

$$CP=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Где $(x_1,y_1)$ - координаты точки C, а $(x_2,y_2)$ - координаты точки P. Подставляя значения из задачи, получаем:

$$CP=\sqrt{(6-(-2){)}^2+(2-8{)}^2}$$

$$CP=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}$$

$$CP=\sqrt{64+36}$$

$$CP=\sqrt{100}$$

$$CP=10$$

Аналогично, найдем длины сторон MP и MC:

$$MP=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}=\sqrt{(2-6{)}^2+(-6-2{)}^2}=\sqrt{(-4{)}^2+(-8{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$

$$MC=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}=\sqrt{(-2-2{)}^2+(8-(-6){)}^2}=\sqrt{(-4{)}^2+(14{)}^2}=\sqrt{16+196}=\sqrt{212}$$

Теперь у нас есть значения сторон треугольника: $CP=10$, $MP=4\sqrt{5}$ и $MC=\sqrt{212}$.

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника, нужно определить наибольшую сторону и затем использовать оставшиеся две стороны в формуле косинусов.

Сравним значения $CP$, $MP$ и $MC$. Самое большое значение здесь - $CP=10$. Таким образом, угол C является наибольшим углом в треугольнике.

В данном случае, меньшим углом является угол в вершине P. Поэтому мы будем использовать стороны MP и MC в формуле косинусов:

$$\cos (\theta )=\frac{M{P}^2+M{C}^2-C{P}^2}{2\cdot MP\cdot MC}$$

Подставляем значения:

$$\cos (\theta )=\frac{(4\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{212}{)}^2-{10}^2}{2\cdot 4\sqrt{5}\cdot \sqrt{212}}$$

Выполняем необходимые вычисления:

$$\cos (\theta )=\frac{80+212-100}{8\sqrt{5}\cdot \sqrt{212}}$$

$$\cos (\theta )=\frac{192}{8\sqrt{5}\cdot \sqrt{212}}$$

Для упрощения выражения, мы можем разделить числитель и знаменатель на 8:

$$\cos (\theta )=\frac{24}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{212}}$$

Теперь перепишем знаменатель с помощью свойства квадратных корней:

$$\cos (\theta )=\frac{24}{\sqrt{5\cdot 212}}$$

$$\cos (\theta )=\frac{24}{\sqrt{1060}}$$

Не забывайте, что мы хотим ответить на вопрос "Каков косинус меньшего угла треугольника". Чтобы получить точный ответ, мы можем округлить числитель и знаменатель до десятичных знаков:

$$\cos (\theta )\approx \frac{24}{32.62}\approx 0.735$$

Таким образом, косинус меньшего угла треугольника является примерно 0.735.