Каков коэффициент при ×3 в разложении бинома (3-2×)4?

Для решения данной задачи нам потребуется применить формулу разложения бинома в степень. В данном случае, нам нужно разложить бином (3-2×) в степень 4 и найти коэффициент при \(x^3\). Давайте выполним шаги для решения этой задачи.

Шаг 1: Применим формулу разложения бинома в степень. Формула имеет следующий вид:

\[(a+b)^n = C(n,0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n,1) \cdot a^{(n-1)} \cdot b^1 + C(n,2) \cdot a^{(n-2)} \cdot b^2 + ... + C(n,n) \cdot a^0 \cdot b^n\]

Здесь C(n,k) представляет собой биномиальный коэффициент "n по k", который вычисляется по формуле:

\[C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Шаг 2: Применим формулу разложения бинома (3-2x) в степень 4. В нашем случае, \(a = 3\), \(b = -2x\), и \(n = 4\). Применим формулу:

\[(3-2x)^4 = C(4,0) \cdot 3^4 \cdot (-2x)^0 + C(4,1) \cdot 3^3 \cdot (-2x)^1 + C(4,2) \cdot 3^2 \cdot (-2x)^2 + C(4,3) \cdot 3^1 \cdot (-2x)^3 + C(4,4) \cdot 3^0 \cdot (-2x)^4\]

Шаг 3: Вычислим каждый из биномиальных коэффициентов и упростим выражение:

\[(3-2x)^4 = 1 \cdot 3^4 \cdot 1 + 4 \cdot 3^3 \cdot (-2x) + 6 \cdot 3^2 \cdot (-2x)^2 + 4 \cdot 3^1 \cdot (-2x)^3 + 1 \cdot 3^0 \cdot (-2x)^4\]

Шаг 4: Упростим каждое слагаемое:

\[(3-2x)^4 = 81 - 216x + 216x^2 - 96x^3 + 16x^4\]

Шаг 5: Теперь нам нужно найти коэффициент при \(x^3\). В данном случае, это -96.

Итак, коэффициент при \(x^3\) в разложении бинома (3-2x) в степень 4 равен -96.