каков импульс тела и какая сила действует на него через 10 секунд после начала движения, если уравнение движения

Для начала, нам необходимо определить, что такое импульс тела. Импульс (обозначается символом \(\vec{p}\)) - это физическая величина, которая характеризует количество движения тела. Он определяется как произведение массы тела на его скорость: \(\vec{p} = m \cdot \vec{v}\), где \(m\) - масса тела, а \(\vec{v}\) - его скорость.

Теперь перейдем к решению задачи. У нас имеется уравнение движения прямолинейного тела: \(x = a + bt - ct^2 + dt^3\), где \(b = 1\) м/с, \(c = 5\) м/с\(^2\) и \(d = 5\) м/с\(^3\). Нам необходимо найти значение импульса тела через 10 секунд после начала движения.

Для этого мы должны найти скорость тела в момент времени \(t = 10\) секунд. Для этого возьмем первую производную от уравнения движения по времени:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(a + bt - ct^2 + dt^3)\)

\(\frac{{dx}}{{dt}} = b - 2ct + 3dt^2\)

Подставим значения \(b = 1\), \(c = 5\), \(d = 5\) и \(t = 10\) в это уравнение:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = 1 - 2 \cdot 5 \cdot 10 + 3 \cdot 5 \cdot 10^2\)

\(\frac{{dx}}{{dt}} = 1 - 100 + 1500\)

\(\frac{{dx}}{{dt}} = 1401\) м/с

Теперь у нас есть значение скорости в момент времени \(t = 10\) секунд. Чтобы найти импульс, умножим эту скорость на массу тела. В нашем случае масса составляет \(m = 0,5\) кг.

\(\vec{p} = m \cdot \vec{v}\)

\(\vec{p} = 0,5 \cdot 1401\)

\(\vec{p} = 700,5\) кг \(\cdot\) м/с

Таким образом, импульс тела через 10 секунд после начала движения составляет 700,5 кг \(\cdot\) м/с.

Теперь давайте найдем силу, действующую на тело через 10 секунд после начала движения. Сила (обозначается символом \(\vec{F}\)) связана с изменением импульса тела по времени и определяется следующим образом: \(\vec{F} = \frac{{d\vec{p}}}{{dt}}\).

В нашем случае у нас постоянная масса, поэтому можно записать \(\vec{F} = m \cdot \frac{{d\vec{v}}}{{dt}}\). Но мы знаем, что \(\vec{v} = \frac{{dx}}{{dt}}\), поэтому подставим это в выражение для силы:

\(\vec{F} = m \cdot \frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)\)

Возьмем производную от \(\frac{{dx}}{{dt}}\) по времени:

\(\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right) = \frac{{d}}{{dt}}(1 - 2ct + 3dt^2)\)

\(\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right) = -2c + 6dt\)

Подставим значения \(c = 5\), \(d = 5\) и \(t = 10\) в это уравнение:

\(\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right) = -2 \cdot 5 + 6 \cdot 5 \cdot 10\)

\(\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right) = -10 + 300\)

\(\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right) = 290\) м/с\(^2\)

Теперь у нас есть значение ускорения по времени. Умножим его на массу тела, чтобы найти силу:

\(\vec{F} = m \cdot \frac{{d\vec{v}}}{{dt}}\)

\(\vec{F} = 0,5 \cdot 290\)

\(\vec{F} = 145\) Н

Таким образом, сила, действующая на тело через 10 секунд после начала движения, составляет 145 Н.