Каков должен быть период вращения стержня на центробежной машине, чтобы пружина, соединяющая груз с осью, растянулась

Для решения данной задачи, нам понадобится знание закона Гука, который гласит, что удлинение (или сжатие) пружины пропорционально силе, действующей на нее.
Формула для закона Гука:
\[ F = k \cdot \Delta L \]
Где:
\( F \) - сила, действующая на пружину (в нашем случае вес груза),
\( k \) - коэффициент жесткости пружины,
\( \Delta L \) - изменение длины пружины.

Здесь нам известны значения массы груза \( m = 100 \, \text{г} \) и коэффициента жесткости пружины \( k = 300 \, \text{Н/м} \).

Узнаем, насколько пружина растянется, если груз будет равен 100 г. Мы знаем, что для этого нужно, чтобы пружина растянулась на четверть своей первоначальной длины (\( \Delta L = \frac{L}{4} \), где \( L \) - первоначальная длина пружины).

Подставим известные значения в формулу:
\[ F = k \cdot \Delta L \]
\[ m \cdot g = k \cdot \Delta L \]
\[ \Delta L = \frac{m \cdot g}{k} \]
\[ \Delta L = \frac{100 \cdot 0.01 \cdot 9.8}{300} \]

Рассчитаем это значение:
\[ \Delta L ≈ 0.3267 \, \text{м} \]

Теперь мы можем рассчитать период вращения стержня на центробежной машине, для которого пружина растянется на четверть своей первоначальной длины.

Период вращения связан с частотой \( f \) следующим образом:
\[ T = \frac{1}{f} \]
где \( T \) - период вращения, а \( f \) - частота вращения.

Известно, что период связан с частотой следующим соотношением:
\[ f = \frac{1}{T} \]

Нам также известно, что частота \( f \) связана с центростремительным ускорением \( a_c \) (которое подчиняется закону Ньютона универсального тяготения) следующим образом:
\[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{a_c}{L}} \]
где \( L \) - длина стержня.

В нашей задаче, вместо центростремительного ускорения \( a_c \) мы знаем удлинение \( \Delta L \), которое мы рассчитали ранее.

Зная удлинение \( \Delta L \) и длину стержня \( L \), мы можем найти центростремительное ускорение \( a_c \).

\[ \Delta L = L - \frac{L}{4} = \frac{3L}{4} \]
\[ a_c = \frac{v^2}{R} \]
\[ R = L - \Delta L = \frac{L}{4} \]
\[ a_c = \frac {v^2}{\frac{L}{4}} \]
\[ v = \sqrt{a_c \cdot \frac{L}{4}} \]
\[ v = \sqrt{\frac {k}{m} \cdot \frac{L}{4}} \]
\[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{a_c}{L}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m} \cdot \frac{L}{4L}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{4m}} \]
\[ T = \frac{1}{f} = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}} \]

Теперь мы можем подставить известные значения и вычислить период вращения стержня.
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{4 \cdot 0.1}{300}} \]
\[ T ≈ 2\pi \sqrt{\frac{0.4}{300}} \]
\[ T ≈ 2\pi \sqrt{0.001333} \]
\[ T ≈ 2\pi \cdot 0.036519 \]
\[ T ≈ 0.22966 \, \text{сек} \]

Итак, период вращения стержня на центробежной машине, при котором пружина растянется на четверть своей первоначальной длины, равен около 0.229 секунд.