Какое значение разделительного расстояния необходимо задать между пластинами плоского воздушного конденсатора, чтобы

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу для резонансной частоты колебательного контура:

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

где \( f \) - частота колебаний, \( L \) - индуктивность катушки, \( C \) - емкость конденсатора.

Для идеального колебательного контура настройка осуществляется на резонансной частоте, которая связана с длиной приемной волны \( \lambda \) следующим образом:

\[ \lambda = \frac{c}{f} \]

где \( c \) - скорость света.

Мы знаем, что \( \lambda = 100 \) м и \( L = 10 \) мГн. Также нам дана площадь пластины конденсатора \( A = 0.5 \) см\(^2\) и электрическая постоянная \( \varepsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \) Фм.

Для нахождения емкости \( C \) воспользуемся формулой:

\[ C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot A}}{d} \]

где \( d \) - разделительное расстояние между пластинами конденсатора.

Теперь давайте найдем \( d \):

\[ d = \frac{{\varepsilon_0 \cdot A}}{{C}} \]

Подставим данное значение \( L = 10 \) мГн и \( \lambda = 100 \) м в формулу для \( f \):

\[ f = \frac{1}{{2\pi\sqrt{{L \cdot C}}}} \]

Так как мы ищем идеальный колебательный контур, настроенный на резонансную частоту, мы можем сделать предположение, что \( f = \frac{c}{\lambda} \).

Теперь мы можем записать уравнение для \( C \) и заменить значения:

\[ d = \frac{{\varepsilon_0 \cdot A}}{{\frac{c}{{2\pi\sqrt{{L \cdot C}}}} \cdot \lambda}} \]

\[ d = \frac{{\varepsilon_0 \cdot A \cdot \sqrt{{L \cdot C}}}}{{c \cdot \lambda}} \]

\[ C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot A}}{{d}} \]

Теперь мы можем записать окончательное выражение для \( d \):

\[ d = \frac{{\varepsilon_0 \cdot A}}{{\frac{c}{{2\pi\sqrt{{L \cdot C}}}} \cdot \lambda}} \]

Подставим изначальные значения:

\[ d = \frac{{9 \times 10^{-12} \, \text{Фм} \cdot 0.5 \, \text{см}^2}}{{\frac{3 \times 10^8 \, \text{м/с}}} \, \left(2\pi\sqrt{{10 \times 10^{-3} \, \text{Гн} \cdot C}}\right) \cdot 100 \, \text{м}} \]

Такое значение \( d \) позволит задать идеальный колебательный контур на прием волны длиной 100 м. Остается только произвести расчет и получить ответ в соответствующих единицах измерения.