Какое значение получится при умножении наименьшего корня (в градусах) на количество различных корней уравнения 1

Чтобы решить данную задачу, давайте начнем с вычисления количества различных корней уравнения \(1 - \sin(4x) = (\cos(3x) - \sin(3x))^2\) на интервале \((-36^\circ, 360^\circ)\).

Для начала, посмотрим на само уравнение. Видно, что у нас есть три функции синус и косинус. Чтобы решить это уравнение, мы должны преобразовать его и использовать математические свойства тригонометрии. Давайте посмотрим, что мы можем сделать.

Уравнение можно представить следующим образом:

\[1 - \sin(4x) = (\cos(3x) - \sin(3x))^2\]

Мы знаем, что \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Применим это свойство к нашему уравнению:

\[1 - \sin(4x) = \cos^2(3x) - 2\cos(3x)\sin(3x) + \sin^2(3x)\]

Заметим, что у нас есть две схожие функции: \(\sin\) и \(\cos\). Воспользуемся формулой тождества \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[1 - \sin^2(4x) = \cos^2(3x) - 2\cos(3x)\sin(3x) + \sin^2(3x)\]

Теперь мы можем объединить схожие функции:

\[\cos^2(3x) + \sin^2(3x) - \sin^2(4x) = \cos^2(3x) - 2\cos(3x)\sin(3x) + \sin^2(3x)\]

Мы видим, что \(\cos^2(3x) + \sin^2(3x)\) встречается на обеих сторонах. Они компенсируются:

\[- \sin^2(4x) = - 2\cos(3x)\sin(3x)\]

Для удобства давайте заменим \(\sin^2(4x)\) на \(1 - \cos^2(4x)\), используя формулу тождества \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\):

\[- (1 - \cos^2(4x)) = - 2\cos(3x)\sin(3x)\]

Теперь мы можем сократить отрицательные знаки и получим:

\[\cos^2(4x) = 2\cos(3x)\sin(3x)\]

Дальше мы применим формулу двойного угла для косинуса: \(\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\). Применим эту формулу к нашему уравнению:

\[\cos^2(4x) = 2\cos(3x)\sin(3x)\]
\[2\cos^2(2\cdot2x) - 1 = 2\cos(3x)\sin(3x)\]

Теперь мы можем заменить \(\cos(2\cdot2x)\) на \(\cos^2(2x) - \sin^2(2x)\):

\[2(\cos^2(2x) - \sin^2(2x)) - 1 = 2\cos(3x)\sin(3x)\]

Раскроем скобки:

\[2\cos^2(2x) - 2\sin^2(2x) - 1 = 2\cos(3x)\sin(3x)\]

Мы видим, что \(-2\sin^2(2x)\) встречается на обеих сторонах. Они компенсируются:

\[2\cos^2(2x) - 1 = 2\cos(3x)\sin(3x)\]

Теперь преобразуем выражение и запишем его в виде:

\[\cos^2(2x) = \cos(3x)\sin(3x)\]

Давайте продолжим решать, чтобы найти наименьший корень на интервале \((-36^\circ, 360^\circ)\). Возможно, мы сможем использовать свойства тригонометрических функций для преобразования дальше.

Одно из свойств косинуса удвоенного угла гласит: \(\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1\). Мы можем применить это свойство к нашему уравнению:

\[\cos^2(2x) = \cos(3x)\sin(3x)\]
\[2\cos^2(x) - 1 = \cos(3x)\sin(3x)\]

Теперь мы можем преобразовать выражение:

\[2\cos(x)\cos(x) - 1 = \cos(3x)\sin(3x)\]
\[2(\cos(x))^2 - 1 = \cos(3x)\sin(3x)\]

Также нам известно тождество \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\). Мы можем использовать его для преобразования уравнения:

\[2(\cos(x))^2 - 1 = \cos(3x)\sin(3x)\]
\[2(\cos(x))^2 - 1 = \sin(2\cdot3x)\cos(3x)\]

Теперь мы видим, что \(\cos(3x)\) встречается на обеих сторонах уравнения. Мы можем разделить обе части на \(\cos(3x)\):

\[\frac{2(\cos(x))^2 - 1}{\cos(3x)} = \sin(2\cdot3x)\]

Делаем замену переменной: \(y = 3x\):

\[\frac{2(\cos(x))^2 - 1}{\cos(y)} = \sin(2y)\]

Теперь давайте проанализируем уравнение, которое у нас получилось. Когда \(\sin(2y) = 0\), то есть \(\sin(2y)\) равен нулю, у нас есть один корень, равный \(y = 0\). Это будет минимальный корень, который можно получить на интервале \((-36^\circ, 360^\circ)\).

Чтобы найти значение этого корня в градусах, делим \(y = 0\) на 3:

\[y = 0\]
\[x = \frac{y}{3} = \frac{0}{3} = 0\]

Таким образом, наименьшее значение \(x\), при котором выполняется исходное уравнение, равно \(0^\circ\). Также, по условию задачи, мы должны найти значение, получающееся при умножении этого наименьшего корня на количество различных корней уравнения.

Мы уже обсудили, что количество различных корней уравнения будет зависеть от количества решений \(\sin(2y)\). Чтобы определить количество различных корней, рассмотрим график функции \(\sin(2y)\) на интервале \((-36^\circ, 360^\circ)\).

На графике функции \(\sin(2y)\) мы видим, что у неё цикл повторяется каждые \(180^\circ\). Также, мы знаем, что функция \(\sin\) принимает значения от -1 до 1. Исходя из этой информации, мы можем определить количество разных корней в заданном интервале.

Разделив интервал \((-36^\circ, 360^\circ)\) на цикл функции \(\sin(2y)\), получим 2 цикла. Значит, функция \(\sin(2y)\) имеет 2 различных корня на интервале \((-36^\circ, 360^\circ)\).

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы ответить на вопрос задачи: какое значение получится при умножении наименьшего корня (в градусах) на количество различных корней уравнения на интервале \((-36^\circ, 360^\circ)\).

Наименьший корень равен \(0^\circ\), а количество различных корней равно 2. Тогда умножим наш наименьший корень на количество различных корней:

\(0^\circ \times 2 = 0^\circ\).

Таким образом, значение, которое получится при умножении наименьшего корня (в градусах) на количество различных корней уравнения на интервале \((-36^\circ, 360^\circ)\), равно \(0^\circ\).