Какое значение переменной k необходимо найти, при котором разница между дробями 1k−4 и 5k+4 равна их произведению?

Давайте решим данную задачу пошагово.

Первым шагом нам нужно записать уравнение, используя информацию из условия задачи. У нас есть две дроби: перовая дробь равна \(\frac{1}{k-4}\), а вторая дробь равна \(\frac{5}{k+4}\). По условию задачи, разница между этими дробями должна быть равна их произведению.

То есть, можем записать уравнение:

\(\frac{1}{k-4} - \frac{5}{k+4} = \frac{1}{k-4} \cdot \frac{5}{k+4}\)

Давайте продолжим решение этого уравнения.

Сначала объединим дроби слевой стороны, чтобы получить общий знаменатель. Умножим первую дробь на \(\frac{k+4}{k+4}\) и вычтем вторую дробь:

\(\frac{(k+4)}{(k-4)(k+4)} - \frac{5}{k+4} = \frac{1 \cdot 5}{(k-4)(k+4)}\)

Теперь сократим общий знаменатель слевой стороны:

\(\frac{(k+4) - 5(k-4)}{(k-4)(k+4)} = \frac{5}{(k-4)(k+4)}\)

Выполним раскрытие скобок и упростим числитель слевой стороны:

\(\frac{k + 4 - 5k + 20}{(k-4)(k+4)} = \frac{5}{(k-4)(k+4)}\)

Сложим сокращенные члены числителя:

\(\frac{(24 - 4k)}{(k-4)(k+4)} = \frac{5}{(k-4)(k+4)}\)

Теперь мы имеем две дроби с одинаковым знаменателем. Если две дроби равны, значит их числители должны быть равными:

\(24 - 4k = 5\)

Решим это уравнение для нахождения значения переменной k.

Вычтем 24 из обеих сторон уравнения:

\(-4k = 5 - 24\)

Выполним вычитание:

\(-4k = -19\)

Теперь разделим обе стороны на -4, чтобы найти значение переменной k:

\(k = \frac{-19}{-4}\)

Выполним деление:

\(k = \frac{19}{4}\)

Таким образом, значение переменной k, при котором разница между дробями \(\frac{1}{k-4}\) и \(\frac{5}{k+4}\) равна их произведению, равно \(\frac{19}{4}\).