Какое значение параметра m позволит получить наименьшую сумму квадратов действительных корней уравнения 2x² - 4(m-4)x

Для решения данной задачи нам нужно найти значение параметра \(m\), при котором сумма квадратов действительных корней уравнения \(2x^2 - 4(m-4)x - m + 7\) будет минимальной.

Для начала, давайте рассмотрим какие условия должны выполняться, чтобы уравнение имело действительные корни. Уравнение будет иметь действительные корни, если дискриминант \(D\) будет больше или равен нулю. Дискриминант равен формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения.

В нашем уравнении коэффициенты равны: \(a = 2\), \(b = -4(m-4)\), \(c = -m + 7\).

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[D = (-4(m-4))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m + 7)\]

Давайте упростим это выражение:

\[D = 16(m-4)^2 + 8(m - 7)\]

Теперь, чтобы минимизировать сумму квадратов действительных корней, нам нужно найти значение параметра \(m\), при котором дискриминант будет минимальным.

Для этого возьмем производную по \(m\) от выражения для дискриминанта \(D\) и приравняем ее к нулю:

\[\dfrac{dD}{dm} = 32(m-4) + 8 = 0\]

Решим это уравнение относительно \(m\):

\[32(m-4) = -8\]
\[32m - 128 = -8\]
\[32m = 120\]
\[m = \dfrac{120}{32}\]
\[m = 3.75\]

Таким образом, чтобы получить наименьшую сумму квадратов действительных корней, значение параметра \(m\) должно быть равно 3.75.

Подставляем это значение обратно в исходное уравнение и проверяем:

\[2x^2 - 4(3.75-4)x - 3.75 + 7\]

Упростим это уравнение:

\[2x^2 - 4(-0.25)x + 3.25\]

Теперь мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней уравнения, которая выглядит следующим образом:

\[x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим соответствующие значения:

\[x = \dfrac{4(-0.25) \pm \sqrt{(-0.25)^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3.25}}{2 \cdot 2}\]

Вычисляем:

\[x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 26}}{4}\]
\[x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-25}}{4}\]

Так как мы получаем корень из отрицательного числа, это означает, что уравнение не имеет действительных корней при \(m = 3.75\).

Таким образом, ответом на задачу будет, что никакое значение параметра \(m\) не позволяет получить наименьшую сумму квадратов действительных корней уравнения.